Simplifique as expressões abaixo

Passo 1

Vamos simplificar a expressão . Aqui, estamos trabalhando com trigonometria, especificamente com funções inversas e identidades trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções inversas funcionam e aplicar a identidade trigonométrica para o seno do dobro de um ângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Essa é a função arco cosseno, que nos dá o ângulo cujo cosseno é . Vamos chamar esse ângulo de , ou seja:
Isso implica que:

Passo 3

Agora, queremos encontrar . Para isso, vamos usar a identidade trigonométrica do seno do dobro do ângulo:
Sabemos que , mas precisamos descobrir .

Passo 4

Usando a identidade fundamental da trigonometria:
Como já sabemos que , podemos substituir na equação:
Então:
Tomando a raiz quadrada dos dois lados:
(Assumimos que está no intervalo onde o seno é positivo.)

Passo 5

Agora, vamos substituir e na identidade do seno do dobro do ângulo:
Simplificando:

Resposta

A expressão simplificada é:

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Se e , encontre uma função tal que .
Sugestão: verifique o que deve acontecer com para se transformar em .
A função sinal é definida por
Faça o gráfico de .
Encontre uma fórmula para a função inversa, ou seja, dada obtenha em cada caso.
Encontre o domínio e esboce o gráfico da função.