Encontre o domínio de f(t) = (t^(-1), arctan(t), e^t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio da função vetorial . Domínio significa todos os valores de t para os quais cada componente da função está definida. Para isso, vamos analisar cada parte da função e ver onde elas funcionam direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira componente: . Essa expressão é igual a . A gente sabe que não dá para dividir por zero, ou seja, t não pode ser igual a zero. Então, a condição para essa parte é:

Passo 3

Agora, a segunda componente é , que é a arctangente de t. A arctangente está sempre definida para qualquer número real t. Não tem restrição aqui, então para essa parte, o domínio é todo número real:

Passo 4

Por último, temos a terceira componente: e^t, a função exponencial. A função exponencial também está bem definida para qualquer número real t. Então, aqui também não tem restrição:

Passo 5

Para encontrar o domínio da função vetorial completa , a gente precisa que todas as componentes estejam definidas ao mesmo tempo. Já vimos que a única restrição é t != 0 (da primeira componente). As outras duas componentes estão sempre definidas.

Resposta

O domínio da função é todos os números reais exceto zero. Em notação matemática:
í

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