Verifique o domínio de f(t) = (t^2, 1/(t-3), ln(t^2-4)).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado: precisamos encontrar o domínio da função vetorial . O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
Para resolver isso, vamos analisar cada componente da função separadamente para ver quais valores de são permitidos em cada uma delas. Precisaremos usar conhecimentos de funções polinomiais, funções racionais e funções logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o primeiro componente: . Esta é uma função polinomial. As funções polinomiais, como quadráticas, não têm restrições de domínio porque podemos elevar qualquer número real ao quadrado. Portanto, para , o domínio é todos os números reais:

Passo 3

Agora, vamos para o segundo componente: . Esta é uma função racional, que envolve uma fração. O único problema aqui é quando o denominador é igual a zero, porque divisão por zero não é definida.
Então, precisamos garantir que:
Portanto, o domínio de é todos os números reais menos :

Passo 4

Por fim, vamos analisar o terceiro componente: . Esta é uma função logarítmica, e para que o logaritmo seja definido, o argumento dentro dele deve ser positivo.
Então, precisamos que:
Resolvendo a desigualdade:
Portanto, o domínio de é:

Passo 5

Agora, para encontrar o domínio da função vetorial , precisamos que todos os componentes estejam definidos simultaneamente. Ou seja, devemos encontrar os valores de que satisfazem todas as condições que encontramos:
  1. (sem restrição para )
  2. (para )
  3. ou (para )
A interseção dessas condições é:
Então, juntando tudo, o domínio de é:

Resposta

O domínio da função é:

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