Encontre o domínio e faça o gráfico das funções nos exercícios abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa função juntos! O exercício pede para a gente encontrar o domínio e fazer o gráfico da função
. A matéria que estamos trabalhando aqui é sobre funções quadráticas. Para isso, vamos precisar entender o que é o domínio e como identificar os pontos importantes para desenhar o gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Olhando para
, vemos que não há divisões por zero nem radicais com índices pares, então a função está definida para todos os reais. Ou seja, o domínio é:
Passo 3
Agora, vamos analisar a função
. Essa é uma função do segundo grau, ou quadrática, e tem a forma geral:
Comparando, temos
,
e
. O coeficiente
negativo indica que a parábola abre para baixo.
Passo 4
Para desenhar o gráfico, precisamos encontrar o vértice da parábola. A fórmula para a coordenada
do vértice é:
Substituindo:
Agora, para achar
, substituímos
na função:
Então, o vértice é
.
Passo 5
Também é útil encontrar as interseções com os eixos. Primeiro, a interseção com o eixo
ocorre quando
:
Portanto, a interseção com o eixo
é
.
Para a interseção com o eixo
, resolvemos
:
Multiplicando tudo por 2 para eliminar frações:
Reorganizando:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as interseções com o eixo
são
e
.
Passo 6
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- A parábola abre para baixo.
- Vértice em
. - Interseção com
em . - Interseções com
em e .
Resposta
O domínio da função é
e o gráfico é uma parábola que abre para baixo com vértice em
, interseções com o eixo
em
e com o eixo
em
e
.
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Encontre o domínio e a imagem de:
Faça os gráficos das funções abaixo.