Encontre o domínio e faça o gráfico das funções nos exercícios abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa função juntos! O exercício pede para a gente encontrar o domínio e fazer o gráfico da função . A matéria que estamos trabalhando aqui é sobre funções quadráticas. Para isso, vamos precisar entender o que é o domínio e como identificar os pontos importantes para desenhar o gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Olhando para , vemos que não há divisões por zero nem radicais com índices pares, então a função está definida para todos os reais. Ou seja, o domínio é:
í

Passo 3

Agora, vamos analisar a função . Essa é uma função do segundo grau, ou quadrática, e tem a forma geral:
Comparando, temos , e . O coeficiente negativo indica que a parábola abre para baixo.

Passo 4

Para desenhar o gráfico, precisamos encontrar o vértice da parábola. A fórmula para a coordenada do vértice é:
Substituindo:
Agora, para achar , substituímos na função:
Então, o vértice é .

Passo 5

Também é útil encontrar as interseções com os eixos. Primeiro, a interseção com o eixo ocorre quando :
Portanto, a interseção com o eixo é .
Para a interseção com o eixo , resolvemos :
Multiplicando tudo por 2 para eliminar frações:
Reorganizando:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as interseções com o eixo são e .

Passo 6

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • A parábola abre para baixo.
  • Vértice em .
  • Interseção com em .
  • Interseções com em e .

Resposta

O domínio da função é e o gráfico é uma parábola que abre para baixo com vértice em , interseções com o eixo em e com o eixo em e .

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