Resolva cada item: Encontre um fator de integração para a equação
de forma a transformá-la numa equação exata.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial e pede para encontrarmos um fator de integração que vai transformar essa equação em uma equação exata. Isso significa que, ao multiplicar a equação por , conseguimos integrar mais facilmente. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre equações diferenciais exatas e como encontrar fatores de integração que dependem só de .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada de uma forma mais familiar:
Podemos identificar as funções e da seguinte forma:

Passo 3

Para que a equação seja exata, deve valer que:
Vamos calcular essas derivadas parciais:
Como , precisamos encontrar um fator de integração que faça com que a equação multiplicada por seja exata.

Passo 4

A fórmula para encontrar o fator de integração quando ele depende apenas de é:
Substituindo os valores que encontramos:
Então:

Resposta

O fator de integração que transforma a equação em exata é .

Exercícios relacionados

Para os exercícios de a-f, encontre o domínio e imagem de cada função.
Resolva os problemas abaixo: .
Encontre o domínio e faça o gráfico das funções nos exercícios abaixo:
Encontre o domínio e a imagem de: