Resolva cada item: Encontre um fator de integração
para a equação
de forma a transformá-la numa equação exata.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial e pede para encontrarmos um fator de integração
que vai transformar essa equação em uma equação exata. Isso significa que, ao multiplicar a equação por
, conseguimos integrar mais facilmente. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre equações diferenciais exatas e como encontrar fatores de integração que dependem só de
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada de uma forma mais familiar:
Podemos identificar as funções
e
da seguinte forma:
Passo 3
Para que a equação seja exata, deve valer que:
Vamos calcular essas derivadas parciais:
Como
, precisamos encontrar um fator de integração
que faça com que a equação multiplicada por
seja exata.
Passo 4
A fórmula para encontrar o fator de integração quando ele depende apenas de
é:
Substituindo os valores que encontramos:
Então:
Resposta
O fator de integração que transforma a equação em exata é
.
Exercícios relacionados
Para os exercícios de a-f, encontre o domínio e imagem de cada função.
Resolva os problemas abaixo:
.
Encontre o domínio e faça o gráfico das funções nos exercícios abaixo:
Encontre o domínio e a imagem de: