Resolva cada item: Encontre um fator de integração mu(y) para a equação
x + (x^2 * y + 4 * y) * dy/dx = 0
de forma a transformá-la numa equação exata.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial e pede para encontrarmos um fator de integração mu(y) que vai transformar essa equação em uma equação exata. Isso significa que, ao multiplicar a equação por mu(y), conseguimos integrar mais facilmente. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre equações diferenciais exatas e como encontrar fatores de integração que dependem só de y.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada de uma forma mais familiar:
Podemos identificar as funções e da seguinte forma:

Passo 3

Para que a equação seja exata, deve valer que:
Vamos calcular essas derivadas parciais:
Como , precisamos encontrar um fator de integração mu(y) que faça com que a equação multiplicada por mu(y) seja exata.

Passo 4

A fórmula para encontrar o fator de integração quando ele depende apenas de y é:
Substituindo os valores que encontramos:
Então:

Resposta

O fator de integração que transforma a equação em exata é .

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