Para os exercícios de a-f, encontre o domínio e imagem de cada função.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa descobrir o domínio e a imagem dela. O domínio é basicamente onde a função está “valendo”, ou seja, para quais valores de
a função está definida. A imagem é o conjunto de todos os possíveis resultados que a função pode dar, ou seja, todos os valores que
pode assumir. Vamos precisar entender um pouquinho de álgebra para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. A função
é uma fração, e a gente sabe que não pode dividir por zero, porque dividir por zero não dá sentido na matemática. Então, vamos descobrir para quais valores de
o denominador
é igual a zero e excluir esses valores do domínio.
Vamos resolver a equação:
Adicionando 16 em ambos os lados:
Agora, tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Isso significa que quando
ou
, o denominador fica zero, o que não é permitido. Portanto, o domínio da função são todos os números reais menos
e
.
Passo 3
Agora vamos encontrar a imagem da função
. A imagem é o conjunto de todos os valores que
pode assumir. Vamos analisar como a função se comporta para diferentes valores de
.
Primeiro, observamos que
pode ser positivo ou negativo:
-
Quando
: Isso acontece quando ou . Nesse caso, será positivo, porque estamos dividindo um número positivo (2) por um número positivo. -
Quando
: Isso acontece quando . Nesse caso, será negativo, porque estamos dividindo um número positivo (2) por um número negativo.
Além disso, conforme
se afasta de
e
,
fica cada vez maior em magnitude, fazendo com que
se aproxime de zero, mas nunca chega exatamente a zero.
Então, a função pode assumir qualquer valor real exceto zero.
Resposta
- Domínio:
e - Imagem:
e
Exercícios relacionados
Resolva os problemas abaixo:
.
Para os exercícios de a-f, encontre o domínio e imagem de cada função.
Resolva cada item: Encontre um fator de integração
para a equação
de forma a transformá-la numa equação exata.
Encontre o domínio e faça o gráfico das funções nos exercícios abaixo: