Para os exercícios de a-f, encontre o domínio e imagem de cada função.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa descobrir o domínio e a imagem dela. O domínio é basicamente onde a função está “valendo”, ou seja, para quais valores de a função está definida. A imagem é o conjunto de todos os possíveis resultados que a função pode dar, ou seja, todos os valores que pode assumir. Vamos precisar entender um pouquinho de álgebra para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. A função é uma fração, e a gente sabe que não pode dividir por zero, porque dividir por zero não dá sentido na matemática. Então, vamos descobrir para quais valores de o denominador é igual a zero e excluir esses valores do domínio.
Vamos resolver a equação:
Adicionando 16 em ambos os lados:
Agora, tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Isso significa que quando ou , o denominador fica zero, o que não é permitido. Portanto, o domínio da função são todos os números reais menos e .

Passo 3

Agora vamos encontrar a imagem da função . A imagem é o conjunto de todos os valores que pode assumir. Vamos analisar como a função se comporta para diferentes valores de .
Primeiro, observamos que pode ser positivo ou negativo:
  • Quando : Isso acontece quando ou . Nesse caso, será positivo, porque estamos dividindo um número positivo (2) por um número positivo.
  • Quando : Isso acontece quando . Nesse caso, será negativo, porque estamos dividindo um número positivo (2) por um número negativo.
Além disso, conforme se afasta de e , fica cada vez maior em magnitude, fazendo com que se aproxime de zero, mas nunca chega exatamente a zero.
Então, a função pode assumir qualquer valor real exceto zero.

Resposta

  • Domínio: e
  • Imagem: e

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Resolva os problemas abaixo: .
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Resolva cada item: Encontre um fator de integração para a equação
de forma a transformá-la numa equação exata.
Encontre o domínio e faça o gráfico das funções nos exercícios abaixo: