Encontre o domínio da função de Bessel de Ordem 1:
sumn=0^infty (-1)^n x^2 n+1n!(n+1)!2^2 n+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o domínio da função de Bessel de Ordem 1, que é dada por uma série infinita. O domínio é basicamente todos os valores de para os quais essa série converge. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar onde a série dá certo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série:
an = (-1)^n x^2n+1n!(n+1)!2^2n+1
Nosso objetivo é aplicar o Teste da Razão, que olha para o limite de quando tende ao infinito.

Passo 3

Calculando an+1an = (-1)^n+1 x^2(n+1)+1(n+1)!(n+2)!2^2(n+1)+1 times n!(n+1)!2^2n+1(-1)^n x^2n+1 :
an+1an = -x^2(n+2)2^2
Simplificando os sinais e os an+1an = -x^24(n+2) :

Passo 4

Agora, pegamos o valor absoluto e calculamos o limite quando | an+1an | = x^24(n+2) vai para o infinito:
limn to infty x^24(n+2) = 0

Passo 5

Segundo o Teste da Razão, se o limite é menor que 1, a série converge. Aqui, o limite é 0, que é sempre menor que 1, independente do valor de .

Resposta

O domínio da função de Bessel de Ordem 1 é todo o conjunto dos números reais, ou seja, .

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