(i) encontre o domínio da função, (ii) encontre a imagem da função, (iii) descreva as curvas de nível da função, (iv) encontre a fronteira do domínio da função, (v) determine se o domínio é uma região aberta, fechada ou nenhuma das duas, e (vi) decida se o domínio é limitado ou ilimitado.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos:
  1. Encontrar o domínio da função.
  2. Encontrar a imagem da função.
  3. Descrever as curvas de nível da função.
  4. Encontrar a fronteira do domínio da função.
  5. Determinar se o domínio é uma região aberta, fechada ou nenhuma das duas.
  6. Decidir se o domínio é limitado ou ilimitado.
Para resolver tudo isso, vamos precisar entender conceitos de domínio e imagem de funções, curvas de nível, fronteira de conjuntos, e propriedades de regiões no plano. Vamos passo a passo!

Passo 2

(i) Encontrar o domínio da função
O domínio de uma função são todos os pares para os quais a função está definida. No caso da nossa função , precisamos garantir que o denominador não seja zero e que o que está dentro da raiz quadrada seja positivo (já que a raiz quadrada de um número negativo não é real).
Então, temos as seguintes condições:
  1. (para que a raiz quadrada seja real e definida).
  2. , ou seja, .
Então, a condição geral é .
Essa inequação descreve o interior de um círculo com raio , já que .

Passo 3

(ii) Encontrar a imagem da função
A imagem da função são todos os valores que pode assumir. Vamos analisar a expressão .
Sabemos que está entre e (exclusivo), então está entre e .
Como estamos tomando o inverso dessa raiz, quando se aproxima de , tende para infinito, e quando , .
Portanto, a imagem da função é .

Passo 4

(iii) Descrever as curvas de nível da função
Curvas de nível são conjuntos de pontos onde a função assume um valor constante . Então, temos:
Resolvendo para e :
Essa é a equação de um círculo com raio , centrado na origem. Assim, as curvas de nível são círculos concêntricos com a origem, com raios que aumentam conforme diminui.

Passo 5

(iv) Encontrar a fronteira do domínio da função
A fronteira de um conjunto é o conjunto de pontos onde qualquer vizinhança contém pontos dentro e fora do conjunto.
Nosso domínio é definido por , que é o interior de um círculo de raio 4. A fronteira desse domínio é justamente o círculo onde .

Passo 6

(v) Determinar se o domínio é uma região aberta, fechada ou nenhuma das duas
Uma região é aberta se não inclui sua fronteira, fechada se inclui sua fronteira, e nenhuma das duas se for uma mistura.
Nosso domínio é , que não inclui os pontos onde . Portanto, o domínio é uma região aberta.

Passo 7

(vi) Decidir se o domínio é limitado ou ilimitado
Um conjunto é limitado se está contido dentro de algum círculo de raio finito. No nosso caso, está contido dentro do círculo de raio 4. Portanto, o domínio é limitado.

Resposta

Resumindo:
  1. Domínio: Todos os tais que .
  2. Imagem: .
  3. Curvas de nível: Círculos concêntricos com a origem.
  4. Fronteira do domínio: O círculo .
  5. Tipo de região: Região aberta.
  6. Limitado ou ilimitado: Limitado.

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(i) encontre o domínio da função, (ii) encontre a imagem da função, (iii) descreva as curvas de nível da função, (iv) encontre a fronteira do domínio da função, (v) determine se o domínio é uma região aberta, fechada ou nenhuma das duas, e (vi) decida se o domínio é limitado ou ilimitado.
Determine e esboce o domínio das funções abaixo
Determine e esboce o domínio das funções abaixo
Obtenha a derivada das funções abaixo: ;