(i) encontre o domínio da função, (ii) encontre a imagem da função, (iii) descreva as curvas de nível da função, (iv) encontre a fronteira do domínio da função, (v) determine se o domínio é uma região aberta, fechada ou nenhuma das duas, e (vi) decida se o domínio é limitado ou ilimitado.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos:
- Encontrar o domínio da função.
- Encontrar a imagem da função.
- Descrever as curvas de nível da função.
- Encontrar a fronteira do domínio da função.
- Determinar se o domínio é uma região aberta, fechada ou nenhuma das duas.
- Decidir se o domínio é limitado ou ilimitado.
Para resolver tudo isso, vamos precisar entender conceitos de domínio e imagem de funções, curvas de nível, fronteira de conjuntos, e propriedades de regiões no plano. Vamos passo a passo!
Passo 2
(i) Encontrar o domínio da função
O domínio de uma função são todos os pares
para os quais a função está definida. No caso da nossa função
, precisamos garantir que o denominador não seja zero e que o que está dentro da raiz quadrada seja positivo (já que a raiz quadrada de um número negativo não é real).
Então, temos as seguintes condições:
-
(para que a raiz quadrada seja real e definida). -
, ou seja, .
Então, a condição geral é
.
Essa inequação descreve o interior de um círculo com raio
, já que
.
Passo 3
(ii) Encontrar a imagem da função
A imagem da função são todos os valores que
pode assumir. Vamos analisar a expressão
.
Sabemos que
está entre
e
(exclusivo), então
está entre
e
.
Como estamos tomando o inverso dessa raiz, quando
se aproxima de
,
tende para infinito, e quando
,
.
Portanto, a imagem da função é
.
Passo 4
(iii) Descrever as curvas de nível da função
Curvas de nível são conjuntos de pontos
onde a função assume um valor constante
. Então, temos:
Resolvendo para
e
:
Essa é a equação de um círculo com raio
, centrado na origem. Assim, as curvas de nível são círculos concêntricos com a origem, com raios que aumentam conforme
diminui.
Passo 5
(iv) Encontrar a fronteira do domínio da função
A fronteira de um conjunto é o conjunto de pontos onde qualquer vizinhança contém pontos dentro e fora do conjunto.
Nosso domínio é definido por
, que é o interior de um círculo de raio 4. A fronteira desse domínio é justamente o círculo onde
.
Passo 6
(v) Determinar se o domínio é uma região aberta, fechada ou nenhuma das duas
Uma região é aberta se não inclui sua fronteira, fechada se inclui sua fronteira, e nenhuma das duas se for uma mistura.
Nosso domínio é
, que não inclui os pontos onde
. Portanto, o domínio é uma região aberta.
Passo 7
(vi) Decidir se o domínio é limitado ou ilimitado
Um conjunto é limitado se está contido dentro de algum círculo de raio finito. No nosso caso,
está contido dentro do círculo de raio 4. Portanto, o domínio é limitado.
Resposta
Resumindo:
- Domínio: Todos os
tais que . - Imagem:
. - Curvas de nível: Círculos concêntricos com a origem.
- Fronteira do domínio: O círculo
. - Tipo de região: Região aberta.
- Limitado ou ilimitado: Limitado.
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(i) encontre o domínio da função, (ii) encontre a imagem da função, (iii) descreva as curvas de nível da função, (iv) encontre a fronteira do domínio da função, (v) determine se o domínio é uma região aberta, fechada ou nenhuma das duas, e (vi) decida se o domínio é limitado ou ilimitado.
Determine e esboce o domínio das funções abaixo
Determine e esboce o domínio das funções abaixo
Obtenha a derivada das funções abaixo:
;