(i) encontre o domínio da função, (ii) encontre a imagem da função, (iii) descreva as curvas de nível da função, (iv) encontre a fronteira do domínio da função, (v) determine se o domínio é uma região aberta, fechada ou nenhuma das duas, e (vi) decida se o domínio é limitado ou ilimitado.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que envolve a função . Precisamos determinar o domínio da função, a imagem, descrever as curvas de nível, encontrar a fronteira do domínio, e decidir se o domínio é aberto, fechado, limitado ou ilimitado. Para isso, vamos utilizar conceitos de funções de várias variáveis, análise de domínio e propriedades geométricas.

Passo 2

(i) Encontrar o domínio da função
Primeiro, vamos entender o que é o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os pares para os quais a função está definida.
A função envolve o arco-tangente de . A função está definida para todos os números reais, mas está definida apenas quando . Portanto, o domínio de é todos os pares tais que .
Domínio:

Passo 3

(ii) Encontrar a imagem da função
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir.
A função tem como imagem o intervalo , já que o arco-tangente retorna valores entre e .
Portanto, a imagem da função é:
Imagem:

Passo 4

(iii) Descrever as curvas de nível da função
Curvas de nível são conjuntos de pontos onde a função assume um valor constante , ou seja, .
Para , aplicando a função tangente dos dois lados, temos:
Multiplicando ambos os lados por , obtemos:
Isso representa uma reta que passa pela origem com inclinação .
Curvas de nível: Retas para

Passo 5

(iv) Encontrar a fronteira do domínio da função
A fronteira do domínio consiste nos pontos que estão “limites” do conjunto onde a função está definida. No caso, o domínio é , que exclui a linha .
Portanto, a fronteira do domínio é a própria linha .
Fronteira do domínio:

Passo 6

(v) Determinar se o domínio é uma região aberta, fechada ou nenhuma das duas
Uma região aberta não inclui sua fronteira, enquanto uma região fechada inclui sua fronteira.
Como o domínio não inclui a linha (a fronteira), ele é uma região aberta.
Domínio: Região aberta

Passo 7

(vi) Decidir se o domínio é limitado ou ilimitado
Um conjunto é limitado se está contido dentro de algum círculo de raio finito. No caso do domínio , para qualquer valor de e , contanto que , os valores podem se estender ao infinito.
Portanto, o domínio é ilimitado.
Domínio: Ilimitado

Resposta

  1. Domínio:
  2. Imagem:
  3. Curvas de nível: Retas para
  4. Fronteira do domínio:
  5. Tipo de região do domínio: Aberta
  6. Domínio é limitado ou ilimitado: Ilimitado

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Determine e esboce o domínio das funções abaixo
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