(i) encontre o domínio da função, (ii) encontre a imagem da função, (iii) descreva as curvas de nível da função, (iv) encontre a fronteira do domínio da função, (v) determine se o domínio é uma região aberta, fechada ou nenhuma das duas, e (vi) decida se o domínio é limitado ou ilimitado.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que envolve a função
. Precisamos determinar o domínio da função, a imagem, descrever as curvas de nível, encontrar a fronteira do domínio, e decidir se o domínio é aberto, fechado, limitado ou ilimitado. Para isso, vamos utilizar conceitos de funções de várias variáveis, análise de domínio e propriedades geométricas.
Passo 2
(i) Encontrar o domínio da função
Primeiro, vamos entender o que é o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está definida.
A função
envolve o arco-tangente de
. A função
está definida para todos os números reais, mas
está definida apenas quando
. Portanto, o domínio de
é todos os pares
tais que
.
Domínio:
Passo 3
(ii) Encontrar a imagem da função
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir.
A função
tem como imagem o intervalo
, já que o arco-tangente retorna valores entre
e
.
Portanto, a imagem da função
é:
Imagem:
Passo 4
(iii) Descrever as curvas de nível da função
Curvas de nível são conjuntos de pontos
onde a função assume um valor constante
, ou seja,
.
Para
, aplicando a função tangente dos dois lados, temos:
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos:
Isso representa uma reta que passa pela origem com inclinação
.
Curvas de nível: Retas
para
Passo 5
(iv) Encontrar a fronteira do domínio da função
A fronteira do domínio consiste nos pontos que estão “limites” do conjunto onde a função está definida. No caso, o domínio é
, que exclui a linha
.
Portanto, a fronteira do domínio é a própria linha
.
Fronteira do domínio:
Passo 6
(v) Determinar se o domínio é uma região aberta, fechada ou nenhuma das duas
Uma região aberta não inclui sua fronteira, enquanto uma região fechada inclui sua fronteira.
Como o domínio
não inclui a linha
(a fronteira), ele é uma região aberta.
Domínio: Região aberta
Passo 7
(vi) Decidir se o domínio é limitado ou ilimitado
Um conjunto é limitado se está contido dentro de algum círculo de raio finito. No caso do domínio
, para qualquer valor de
e
, contanto que
, os valores podem se estender ao infinito.
Portanto, o domínio é ilimitado.
Domínio: Ilimitado
Resposta
- Domínio:
- Imagem:
- Curvas de nível: Retas
para - Fronteira do domínio:
- Tipo de região do domínio: Aberta
- Domínio é limitado ou ilimitado: Ilimitado
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Determine e esboce o domínio das funções abaixo
(i) encontre o domínio da função, (ii) encontre a imagem da função, (iii) descreva as curvas de nível da função, (iv) encontre a fronteira do domínio da função, (v) determine se o domínio é uma região aberta, fechada ou nenhuma das duas, e (vi) decida se o domínio é limitado ou ilimitado.
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