Encontre o domínio da função
com valores vetoriais e suas equações paramétricas
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Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem que encontrar o domínio da função vetorial e também as suas equações paramétricas. Isso envolve entender para quais valores de
a função está definida e expressar as componentes em termos de parâmetros. Vamos precisar saber um pouco sobre as funções trigonométricas inversas, especificamente o arco seno () e o arco cosseno (
).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores de entrada (
, no nosso caso) para os quais a função está definida. Como temos duas funções aqui, e
, precisamos verificar os domínios de cada uma delas e depois ver onde esses domínios se sobrepõem.
Passo 3
A função , que é o arco seno de
, está definida somente para valores de
onde
. Isso porque o seno de um ângulo sempre resulta em um valor entre -1 e 1, então o arco seno só faz sentido dentro desse intervalo.
Passo 4
Da mesma forma, a função
, que é o arco cosseno de
, também está definida para
entre -1 e 1, ou seja,
. O cosseno de um ângulo também varia entre -1 e 1, então o arco cosseno segue essa restrição.
Passo 5
Agora, como precisamos que as duas funções e
estejam definidas ao mesmo tempo, o domínio da função vetorial
será a interseção dos domínios das duas funções individuais. Como ambos têm o mesmo domínio,
, esse será o domínio da nossa função vetorial.
Passo 6
Agora, vamos às equações paramétricas da função vetorial. Uma função vetorial em duas dimensões pode ser expressa em termos de suas componentes
e
em relação ao parâmetro
. Ou seja:
Essas são as equações paramétricas que descrevem a trajetória da função vetorial no plano.
Resposta
O domínio da função é
. As equações paramétricas são:
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