Encontre a expansão em série de Fourier da função periódica de período T = 2 L. f(x) = 1 - sen(x) + 3 cos(2x).

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função periódica com período , dada por . O que precisamos fazer é encontrar a expansão em série de Fourier dessa função. Para isso, vamos usar os conceitos básicos da série de Fourier, que expressa funções periódicas como somas de senos e cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a forma geral da série de Fourier para uma função com período :
Aqui, é o termo constante, e , são os coeficientes que precisamos encontrar. Esses coeficientes determinam a contribuição de cada seno e cosseno na série.

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente , que representa a média da função ao longo de um período. A fórmula para é:
Substituindo a função :

Passo 4

Vamos resolver a integral:
Calculando cada parte:
  1. (porque é uma função ímpar e a integral em torno de 0 cancela)
  2. (porque é uma função par, mas ao integrar em um período completo, o resultado também é zero para essas frequências)
Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes para n ≥ 1. A fórmula é:
Substituindo f(x):

Passo 6

Vamos dividir essa integral em três partes:
Analisando cada parte:
  1. será zero para n ≥ 1.
  2. também será zero devido à ortogonalidade das funções seno e cosseno.
  3. Apenas a terceira integral pode ser não nula, especialmente quando as frequências das funções cosseno coincidirem.

Passo 7

Focando na terceira integral:
Para que essa integral seja diferente de zero, as frequências das funções cosseno devem ser iguais, ou seja:
Como n deve ser inteiro, isso só ocorre para n = 2 se considerarmos . Portanto, apenas para n = 2, teremos:
E para todos os outros valores de n, .

Passo 8

Finalmente, vamos calcular os coeficientes . A fórmula para é:
Substituindo f(x):
Analisando cada parte:
  1. para
  2. devido à ortogonalidade
Assim, todos os .

Resposta

A expansão em série de Fourier da função é:

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