Encontre a expansão em série de Fourier da função periódica de período
.
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função periódica com período
, dada por
. O que precisamos fazer é encontrar a expansão em série de Fourier dessa função. Para isso, vamos usar os conceitos básicos da série de Fourier, que expressa funções periódicas como somas de senos e cossenos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a forma geral da série de Fourier para uma função com período
:
Aqui,
é o termo constante, e
,
são os coeficientes que precisamos encontrar. Esses coeficientes determinam a contribuição de cada seno e cosseno na série.
Passo 3
Vamos calcular o coeficiente
, que representa a média da função ao longo de um período. A fórmula para
é:
Substituindo a função
:
Passo 4
Vamos resolver a integral:
Calculando cada parte:
-
-
(porque é uma função ímpar e a integral em torno de 0 cancela) -
(porque é uma função par, mas ao integrar em um período completo, o resultado também é zero para essas frequências)
Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes
para
. A fórmula é:
Substituindo
:
Passo 6
Vamos dividir essa integral em três partes:
Analisando cada parte:
-
será zero para . -
também será zero devido à ortogonalidade das funções seno e cosseno. - Apenas a terceira integral pode ser não nula, especialmente quando as frequências das funções cosseno coincidirem.
Passo 7
Focando na terceira integral:
Para que essa integral seja diferente de zero, as frequências das funções cosseno devem ser iguais, ou seja:
Como
deve ser inteiro, isso só ocorre para
se considerarmos
. Portanto, apenas para
, teremos:
E para todos os outros valores de
,
.
Passo 8
Finalmente, vamos calcular os coeficientes
. A fórmula para
é:
Substituindo
:
Analisando cada parte:
-
-
para -
devido à ortogonalidade
Assim, todos os
.
Resposta
A expansão em série de Fourier da função
é: