Use o teste de comparação no limite para determinar se as séries convergem ou divergem.
Passo 1
Então, o que temos aqui é uma série infinita:
. Nosso objetivo é determinar se essa série converge ou diverge usando o Teste de Comparação no Limite. Para isso, vamos precisar entender como comparar essa série com outra que a gente já conhece se ela converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma série conhecida com a qual possamos comparar a nossa. Observando o denominador
, percebemos que para valores grandes de
, o
domina o
. Então, podemos simplificar e comparar com a série
.
Passo 3
Sabemos que a série
é uma série geométrica, onde a razão
. Como
, essa série geométrica converge.
Passo 4
Agora, aplicamos o Teste de Comparação no Limite. Calculamos o limite do quociente entre os termos das duas séries:
Simplificando:
Como o limite é um número finito diferente de zero (
) e a série comparada
converge, pelo Teste de Comparação no Limite, a série original
também converge.
Resposta
A série
converge pelo Teste de Comparação no Limite.
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Use os testes de comparação e determine se a série converge ou diverge.