Use o teste de comparação no limite para determinar se as séries convergem ou divergem.

Passo 1

Então, o que temos aqui é uma série infinita: . Nosso objetivo é determinar se essa série converge ou diverge usando o Teste de Comparação no Limite. Para isso, vamos precisar entender como comparar essa série com outra que a gente já conhece se ela converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma série conhecida com a qual possamos comparar a nossa. Observando o denominador , percebemos que para valores grandes de , o domina o . Então, podemos simplificar e comparar com a série .

Passo 3

Sabemos que a série é uma série geométrica, onde a razão . Como , essa série geométrica converge.

Passo 4

Agora, aplicamos o Teste de Comparação no Limite. Calculamos o limite do quociente entre os termos das duas séries:
Simplificando:
Como o limite é um número finito diferente de zero ( ) e a série comparada converge, pelo Teste de Comparação no Limite, a série original também converge.

Resposta

A série converge pelo Teste de Comparação no Limite.

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Use os testes de comparação e determine se a série converge ou diverge.