Encontre o domínio das funções g(x) = ln(x^3 - 4x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa descobrir para quais valores de essa função está definida. Isso significa que a gente vai encontrar o domínio da função. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre logaritmos e resolver uma inequação polinomial.

Passo 2

Primeiro, lembra que o logaritmo natural, , só está definido para números positivos. Ou seja, o que está dentro do logaritmo precisa ser maior que zero. Então, para existir, temos que:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa inequação . Para facilitar, vamos fatorar o polinômio:
Então, a inequação fica:

Passo 4

Vamos identificar os pontos que fazem cada fator ser zero, pois esses pontos dividem a reta numérica em intervalos onde o sinal da expressão pode mudar. Os pontos são:
Agora, vamos analisar o sinal da expressão em cada intervalo formado por esses pontos:
  1. Para :
    • é negativo
    • é negativo
    • é negativo
    • Produto: negativo × negativo × negativo = negativo
  2. Para :
    • é negativo
    • é negativo
    • é positivo
    • Produto: negativo × negativo × positivo = positivo
  3. Para :
    • é positivo
    • é negativo
    • é positivo
    • Produto: positivo × negativo × positivo = negativo
  4. Para :
    • é positivo
    • é positivo
    • é positivo
    • Produto: positivo × positivo × positivo = positivo

Passo 5

Com base nos sinais analisados:
  • A expressão é verdadeira quando o produto é positivo.
  • Isso acontece nos intervalos e .

Resposta

O domínio da função é:

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