Encontre o domínio das funções
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa descobrir para quais valores de
essa função está definida. Isso significa que a gente vai encontrar o domínio da função. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre logaritmos e resolver uma inequação polinomial.
Passo 2
Primeiro, lembra que o logaritmo natural,
, só está definido para números positivos. Ou seja, o que está dentro do logaritmo precisa ser maior que zero. Então, para
existir, temos que:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa inequação
. Para facilitar, vamos fatorar o polinômio:
Então, a inequação fica:
Passo 4
Vamos identificar os pontos que fazem cada fator ser zero, pois esses pontos dividem a reta numérica em intervalos onde o sinal da expressão pode mudar. Os pontos são:
Agora, vamos analisar o sinal da expressão
em cada intervalo formado por esses pontos:
-
Para
: -
é negativo -
é negativo -
é negativo - Produto: negativo × negativo × negativo = negativo
-
-
Para
: -
é negativo -
é negativo -
é positivo - Produto: negativo × negativo × positivo = positivo
-
-
Para
: -
é positivo -
é negativo -
é positivo - Produto: positivo × negativo × positivo = negativo
-
-
Para
: -
é positivo -
é positivo -
é positivo - Produto: positivo × positivo × positivo = positivo
-
Passo 5
Com base nos sinais analisados:
- A expressão
é verdadeira quando o produto é positivo. - Isso acontece nos intervalos
e .
Resposta
O domínio da função
é:
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<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -1.281ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“16.38ex” height=“4.208ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -1293.7 7240.1 1860”><title>h(x) = raiz((-x^2 + 16) / (4*x + 8))</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“210E” d=“M137 683Q138 683 209 688T282 694Q294 694 294 685Q294 674 258 534Q220 386 220 383Q220 381 227 388Q288 442 357 442Q411 442 444 415T478 336Q478 285 440 178T402 50Q403 36 407 31T422 26Q450 26 474 56T513 138Q516 149 519 151T535 153Q555 153 555 145Q555 144 551 130Q535 71 500 33Q466 -10 419 -10H414Q367 -10 346 17T325 74Q325 90 361 192T398 345Q398 404 354 404H349Q266 404 205 306L198 293L164 158Q132 28 127 16Q114 -11 83 -11Q69 -11 59 -2T48 16Q48 30 121 320L195 616Q195 629 188 632T149 637H128Q122 643 122 645T124 664Q129 683 137 683Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” 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<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“18.334ex” height=“2.646ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -919.5 8103.4 1169.5”><title>f(x) = raiz(x - 2) - 1</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 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