Encontre o domínio das funções
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa descobrir para quais valores de
essa função está definida. Isso significa que a gente vai encontrar o domínio da função. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre logaritmos e resolver uma inequação polinomial.
Passo 2
Primeiro, lembra que o logaritmo natural,
, só está definido para números positivos. Ou seja, o que está dentro do logaritmo precisa ser maior que zero. Então, para
existir, temos que:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa inequação
. Para facilitar, vamos fatorar o polinômio:
Então, a inequação fica:
Passo 4
Vamos identificar os pontos que fazem cada fator ser zero, pois esses pontos dividem a reta numérica em intervalos onde o sinal da expressão pode mudar. Os pontos são:
Agora, vamos analisar o sinal da expressão
em cada intervalo formado por esses pontos:
-
Para
: -
é negativo -
é negativo -
é negativo - Produto: negativo × negativo × negativo = negativo
-
-
Para
: -
é negativo -
é negativo -
é positivo - Produto: negativo × negativo × positivo = positivo
-
-
Para
: -
é positivo -
é negativo -
é positivo - Produto: positivo × negativo × positivo = negativo
-
-
Para
: -
é positivo -
é positivo -
é positivo - Produto: positivo × positivo × positivo = positivo
-
Passo 5
Com base nos sinais analisados:
- A expressão
é verdadeira quando o produto é positivo. - Isso acontece nos intervalos
e .
Resposta
O domínio da função
é: