Encontre o domínio das funções h(x) = raiz((-x^2 + 16) / (4*x + 8))

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa encontrar o domínio da função . Isso significa descobrir todos os valores de que deixam a função definida. Para isso, vamos usar conceitos de funções e inequações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a expressão dentro da raiz quadrada, que é , precisa ser não negativa (ou seja, maior ou igual a zero) para a função ser real. Além disso, o denominador não pode ser zero, porque não dá para dividir por zero.

Passo 3

Vamos começar identificando onde o denominador é zero:
Então, .

Passo 4

Agora, vamos analisar a inequação:
Isso significa que o numerador e o denominador devem ter o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos).

Passo 5

Vamos fatorar o numerador e o denominador para facilitar:
Numerador:
Denominador:
Então, a inequação fica:
Podemos simplificar os sinais:

Passo 6

Agora, vamos identificar os pontos críticos, que são os valores de onde o numerador ou denominador é zero:
Esses pontos dividem a reta numérica em intervalos que vamos testar.

Passo 7

Vamos testar um valor em cada intervalo para ver se a inequação é verdadeira:
  1. : Por exemplo,
  2. : Por exemplo,
  3. : Por exemplo,
  4. : Por exemplo,

Passo 8

Também precisamos considerar os pontos onde a inequação é igual a zero:
  • :
  • :
  • : Não incluímos porque o denominador é zero.

Passo 9

Então, juntando tudo, os valores de que satisfazem a inequação são:

Resposta

O domínio da função é ou .

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