Encontre o domínio das funções
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa encontrar o domínio da função
. Isso significa descobrir todos os valores de
que deixam a função definida. Para isso, vamos usar conceitos de funções e inequações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a expressão dentro da raiz quadrada, que é
, precisa ser não negativa (ou seja, maior ou igual a zero) para a função ser real. Além disso, o denominador
não pode ser zero, porque não dá para dividir por zero.
Passo 3
Vamos começar identificando onde o denominador
é zero:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos analisar a inequação:
Isso significa que o numerador e o denominador devem ter o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos).
Passo 5
Vamos fatorar o numerador e o denominador para facilitar:
Numerador:
Denominador:
Então, a inequação fica:
Podemos simplificar os sinais:
Passo 6
Agora, vamos identificar os pontos críticos, que são os valores de
onde o numerador ou denominador é zero:
Esses pontos dividem a reta numérica em intervalos que vamos testar.
Passo 7
Vamos testar um valor em cada intervalo para ver se a inequação é verdadeira:
-
: Por exemplo, -
: Por exemplo, -
: Por exemplo, -
: Por exemplo,
Passo 8
Também precisamos considerar os pontos onde a inequação é igual a zero:
-
: -
: -
: Não incluímos porque o denominador é zero.
Passo 9
Então, juntando tudo, os valores de
que satisfazem a inequação são:
Resposta
O domínio da função
é
ou
.