Encontre o domínio das funções h(x) = raiz((-x^2 + 16) / (4*x + 8))

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa encontrar o domínio da função . Isso significa descobrir todos os valores de que deixam a função definida. Para isso, vamos usar conceitos de funções e inequações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a expressão dentro da raiz quadrada, que é , precisa ser não negativa (ou seja, maior ou igual a zero) para a função ser real. Além disso, o denominador não pode ser zero, porque não dá para dividir por zero.

Passo 3

Vamos começar identificando onde o denominador é zero:
Então, .

Passo 4

Agora, vamos analisar a inequação:
Isso significa que o numerador e o denominador devem ter o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos).

Passo 5

Vamos fatorar o numerador e o denominador para facilitar:
Numerador:
Denominador:
Então, a inequação fica:
Podemos simplificar os sinais:

Passo 6

Agora, vamos identificar os pontos críticos, que são os valores de onde o numerador ou denominador é zero:
Esses pontos dividem a reta numérica em intervalos que vamos testar.

Passo 7

Vamos testar um valor em cada intervalo para ver se a inequação é verdadeira:
  1. : Por exemplo,
  2. : Por exemplo,
  3. : Por exemplo,
  4. : Por exemplo,

Passo 8

Também precisamos considerar os pontos onde a inequação é igual a zero:
  • :
  • :
  • : Não incluímos porque o denominador é zero.

Passo 9

Então, juntando tudo, os valores de que satisfazem a inequação são:

Resposta

O domínio da função é ou .

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<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“
http://www.w3.org/2000/svg” width=“18.334ex” height=“2.646ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -919.5 8103.4 1169.5”><title>f(x) = raiz(x - 2) - 1</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z”></path></g><g 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</body></html>
<html><head></head><body><div>Nos seguintes itens, calcule a derivada <span class="math-inline ">
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