Nos seguintes itens, calcule a derivada
utilizando derivação implícita:
Passo 1
Então, a gente tem uma equação onde
e precisamos encontrar a derivada
usando derivação implícita. Isso envolve cálculo de derivadas onde
é uma função de
. A gente vai precisar lembrar como derivar funções exponenciais e polinomiais, além de aplicar a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembrando que quando derivamos
em relação a
, usamos
porque
depende de
.
Passo 3
Derivando o lado esquerdo:
. Aqui, usamos a regra da cadeia. A derivada de
é
vezes a derivada de
. Então,
e precisamos derivar
em relação a
.
Passo 4
Derivando
. Usamos a regra do quociente: a derivada de
é
. Aqui,
e
. Então:
Passo 5
Voltando à derivada do lado esquerdo:
Passo 6
Agora, derivando o lado direito:
. A derivada de
é
e a derivada de
é
.
Passo 7
Juntando tudo, temos:
Passo 8
Agora, vamos isolar
. Primeiro, multiplique ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Passo 9
Distribuindo:
Passo 10
Reunindo os termos com
de um lado:
Passo 11
Fatorando
:
Passo 12
Isolando
:
Podemos simplificar tirando um sinal negativo do numerador e denominador:
Resposta
A derivada
é: