Nos seguintes itens, calcule a derivada d/y d/x utilizando derivação implícita: e^(x/y) = x^2 - y^2

Passo 1

Então, a gente tem uma equação onde e precisamos encontrar a derivada usando derivação implícita. Isso envolve cálculo de derivadas onde é uma função de . A gente vai precisar lembrar como derivar funções exponenciais e polinomiais, além de aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembrando que quando derivamos em relação a , usamos porque depende de .

Passo 3

Derivando o lado esquerdo: . Aqui, usamos a regra da cadeia. A derivada de é vezes a derivada de . Então, e precisamos derivar em relação a .

Passo 4

Derivando . Usamos a regra do quociente: a derivada de é . Aqui, e . Então:

Passo 5

Voltando à derivada do lado esquerdo:

Passo 6

Agora, derivando o lado direito: . A derivada de é e a derivada de é .

Passo 7

Juntando tudo, temos:

Passo 8

Agora, vamos isolar . Primeiro, multiplique ambos os lados por para eliminar o denominador:

Passo 9

Distribuindo:

Passo 10

Reunindo os termos com de um lado:

Passo 11

Fatorando :

Passo 12

Isolando :
Podemos simplificar tirando um sinal negativo do numerador e denominador:

Resposta

A derivada é:

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