Encontre o domínio, o gráfico e as curvas de nível de cada função

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o domínio, o gráfico e as curvas de nível da função . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre funções de duas variáveis, domínio de funções, e como desenhar tanto o graficο quanto as curvas de nível.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares que fazem a função valer um número real. Olhando para a nossa função , sabemos que o que está dentro da raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero, porque a raiz de número negativo não é um número real.
Então, temos a condição:
Vamos rearranjar essa inequação para encontrar as restrições de e :
Isso significa que para cada valor de , deve ser pelo menos .

Passo 3

Agora, vamos pensar no gráfico da função. Como é uma função de duas variáveis, o gráfico dela vai ser uma superfície no espaço tridimensional , onde .
Para visualizar, pense que para cada ponto que está no domínio, existe um ponto no espaço com a altura igual a . Essa superfície vai ser uma espécie de “paraboloide” invertido devido ao termo .

Passo 4

Agora, vamos encontrar as curvas de nível da função. As curvas de nível são obtidas fixando igual a uma constante . Ou seja:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Rearranjando:
Isso mostra que para cada valor de , a curva de nível é uma parábola no plano , que abre para cima no eixo e é deslocada para a esquerda ou direita dependendo de .

Resposta

O domínio da função é todo par que satisfaz a inequação . O gráfico da função é uma superfície tridimensional semelhante a um paraboloide invertido. As curvas de nível são parábolas no plano definidas por , onde é uma constante.

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