Encontre o domínio, o gráfico e as curvas de nível de cada função
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o domínio, o gráfico e as curvas de nível da função
. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre funções de duas variáveis, domínio de funções, e como desenhar tanto o graficο quanto as curvas de nível.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares
que fazem a função valer um número real. Olhando para a nossa função
, sabemos que o que está dentro da raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero, porque a raiz de número negativo não é um número real.
Então, temos a condição:
Vamos rearranjar essa inequação para encontrar as restrições de
e
:
Isso significa que para cada valor de
,
deve ser pelo menos
.
Passo 3
Agora, vamos pensar no gráfico da função. Como é uma função de duas variáveis, o gráfico dela vai ser uma superfície no espaço tridimensional
, onde
.
Para visualizar, pense que para cada ponto
que está no domínio, existe um ponto no espaço com a altura
igual a
. Essa superfície vai ser uma espécie de “paraboloide” invertido devido ao termo
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as curvas de nível da função. As curvas de nível são obtidas fixando
igual a uma constante
. Ou seja:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Rearranjando:
Isso mostra que para cada valor de
, a curva de nível é uma parábola no plano
, que abre para cima no eixo
e é deslocada para a esquerda ou direita dependendo de
.
Resposta
O domínio da função
é todo par
que satisfaz a inequação
. O gráfico da função é uma superfície tridimensional semelhante a um paraboloide invertido. As curvas de nível são parábolas no plano
definidas por
, onde
é uma constante.
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Encontre o domínio, o gráfico e as curvas de nível de cada função
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