Encontre o domínio, o gráfico e as curvas de nível de cada função

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos o domínio, o gráfico e as curvas de nível da função . Isso envolve conceitos de funções de várias variáveis e geometria analítica. Para resolver, vamos precisar entender o que é domínio de uma função, como representar graficamente funções de duas variáveis e o que são curvas de nível.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares para os quais a função está definida. Como temos uma raiz quadrada, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero para termos números reais. Então, vamos resolver a inequação:
Isso significa:

Passo 3

Essa inequação representa todos os pontos cuja distância até a origem é pelo menos 1. Geometricamente, isso corresponde ao exterior do círculo de raio 1 centrado na origem, incluindo a própria circunferência. Portanto, o domínio da função é:

Passo 4

Agora, vamos pensar no gráfico da função . Esse gráfico é uma superfície no espaço tridimensional. Para cada ponto no domínio, o valor de nos dá a altura desse ponto na superfície.
Como é a raiz quadrada de , vemos que à medida que aumenta, também aumenta. No limite, o gráfico se aproxima de um cone com vértice na circunferência .

Passo 5

Por último, vamos determinar as curvas de nível da função. As curvas de nível são obtidas fixando-se igual a uma constante :
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Rearranjando:

Resposta

O domínio da função é . O gráfico de é uma superfície cônica com vértice na circunferência . As curvas de nível são círculos de raio centrados na origem, onde .

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