Encontre o domínio, o gráfico e as curvas de nível de cada função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos o domínio, o gráfico e as curvas de nível da função
. Isso envolve conceitos de funções de várias variáveis e geometria analítica. Para resolver, vamos precisar entender o que é domínio de uma função, como representar graficamente funções de duas variáveis e o que são curvas de nível.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está definida. Como temos uma raiz quadrada, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero para termos números reais. Então, vamos resolver a inequação:
Isso significa:
Passo 3
Essa inequação representa todos os pontos
cuja distância até a origem é pelo menos 1. Geometricamente, isso corresponde ao exterior do círculo de raio 1 centrado na origem, incluindo a própria circunferência. Portanto, o domínio da função é:
Passo 4
Agora, vamos pensar no gráfico da função
. Esse gráfico é uma superfície no espaço tridimensional. Para cada ponto
no domínio, o valor de
nos dá a altura
desse ponto na superfície.
Como
é a raiz quadrada de
, vemos que à medida que
aumenta,
também aumenta. No limite, o gráfico se aproxima de um cone com vértice na circunferência
.
Passo 5
Por último, vamos determinar as curvas de nível da função. As curvas de nível são obtidas fixando-se
igual a uma constante
:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Rearranjando:
Resposta
O domínio da função é
. O gráfico de
é uma superfície cônica com vértice na circunferência
. As curvas de nível são círculos de raio
centrados na origem, onde
.
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