Encontre o domínio, o gráfico e as curvas de nível de cada função
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis,
. Precisamos encontrar:
- Domínio da função: os valores de
e para os quais a função está definida. - Gráfico da função: representar visualmente a função em um sistema de coordenadas tridimensionais.
- Curvas de nível: são curvas no plano
onde a função assume um valor constante.
Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de funções de várias variáveis, restrições de domínio e entendimento de como construir gráficos e curvas de nível.
Passo 2
Encontrando o domínio da função
O domínio de uma função são todos os pares de valores
para os quais a função está definida. No caso de
, devemos nos atentar para evitar divisões por zero, pois não podemos dividir por zero em matemática.
Portanto, o denominador não pode ser zero:
Isso significa que:
Então, o domínio de
é todos os pares
tais que
.
Passo 3
Desenhando o gráfico da função
Para visualizar o gráfico de
, reconhecemos que é uma superfície no espaço tridimensional. Podemos analisar algumas características:
- Quando
, a função vale zero: . - À medida que
se aproxima de , o denominador se aproxima de zero, fazendo tender ao infinito positivo ou negativo, dependendo da direção.
Isso sugere que a superfície tem uma assíntota vertical ao longo da reta
.
Um gráfico detalhado pode ser traçado usando software de matemática ou programação específica, mas essas observações já nos dão uma boa ideia da forma geral da superfície.
Passo 4
Encontrando as curvas de nível
As curvas de nível são as curvas no plano
onde
é constante. Ou seja, para um valor constante
:
Vamos resolver para
em função de
:
Reorganizando:
Isolando
:
Isso nos mostra que as curvas de nível são linhas retas passando pela origem com inclinações diferentes, dependendo do valor de
.
Resposta
O domínio da função
é
. O gráfico da função é uma superfície com uma assíntota vertical ao longo da reta
. As curvas de nível são linhas retas passando pela origem, dadas por
, onde
é o valor constante da função.
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