Encontre o domínio, o gráfico e as curvas de nível de cada função

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis, . Precisamos encontrar:
  1. Domínio da função: os valores de e para os quais a função está definida.
  2. Gráfico da função: representar visualmente a função em um sistema de coordenadas tridimensionais.
  3. Curvas de nível: são curvas no plano onde a função assume um valor constante.
Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de funções de várias variáveis, restrições de domínio e entendimento de como construir gráficos e curvas de nível.

Passo 2

Encontrando o domínio da função
O domínio de uma função são todos os pares de valores para os quais a função está definida. No caso de , devemos nos atentar para evitar divisões por zero, pois não podemos dividir por zero em matemática.
Portanto, o denominador não pode ser zero:
Isso significa que:
Então, o domínio de é todos os pares tais que .

Passo 3

Desenhando o gráfico da função
Para visualizar o gráfico de , reconhecemos que é uma superfície no espaço tridimensional. Podemos analisar algumas características:
  • Quando , a função vale zero: .
  • À medida que se aproxima de , o denominador se aproxima de zero, fazendo tender ao infinito positivo ou negativo, dependendo da direção.
Isso sugere que a superfície tem uma assíntota vertical ao longo da reta .
Um gráfico detalhado pode ser traçado usando software de matemática ou programação específica, mas essas observações já nos dão uma boa ideia da forma geral da superfície.

Passo 4

Encontrando as curvas de nível
As curvas de nível são as curvas no plano onde é constante. Ou seja, para um valor constante :
Vamos resolver para em função de :
Reorganizando:
Isolando :
Isso nos mostra que as curvas de nível são linhas retas passando pela origem com inclinações diferentes, dependendo do valor de .

Resposta

O domínio da função é . O gráfico da função é uma superfície com uma assíntota vertical ao longo da reta . As curvas de nível são linhas retas passando pela origem, dadas por , onde é o valor constante da função.

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