Encontre o domínio, o gráfico e as curvas de nível de cada função

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o domínio, o gráfico e as curvas de nível da função . Isso está relacionado ao estudo de funções de duas variáveis, uma parte importante da matemática que ajuda a entender como as variáveis interagem entre si.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os pares para os quais a função está definida. Nesse caso, é uma função linear simples, o que significa que está definida para todos os valores reais de e .

Passo 3

Então, o domínio da função é todo o plano , ou seja, qualquer valor real de e pode ser usado na função sem causar problemas, como divisões por zero ou raízes de números negativos.

Passo 4

Agora, vamos ao gráfico da função. Como é uma função de duas variáveis lineares, o gráfico dela será um plano no espaço tridimensional. Podemos reescrever a função para facilitar a visualização:
Isso descreve um plano inclinado que intercepta o eixo no ponto e desce à medida que ou aumentam.

Passo 5

Para desenhar o gráfico, podemos encontrar alguns pontos chave:
  • Se e , então .
  • Se e , então .
  • Se e , então .
Com esses pontos, conseguimos desenhar o plano inclinado no espaço.

Passo 6

Finalmente, vamos determinar as curvas de nível da função. As curvas de nível são as curvas no plano onde a função assume valores constantes. Para isso, definimos , onde é uma constante, e resolvemos para e :
Isso representa uma família de linhas retas no plano , onde cada valor de gera uma linha paralela diferente.

Resposta

  • Domínio: (todos os pares reais).
  • Gráfico: Um plano inclinado definido por .
  • Curvas de nível: Linhas retas da forma .

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