Encontre o domínio, o gráfico e as curvas de nível de cada função
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o domínio, o gráfico e as curvas de nível da função
. Isso está relacionado ao estudo de funções de duas variáveis, uma parte importante da matemática que ajuda a entender como as variáveis interagem entre si.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está definida. Nesse caso,
é uma função linear simples, o que significa que está definida para todos os valores reais de
e
.
Passo 3
Então, o domínio da função é todo o plano
, ou seja, qualquer valor real de
e
pode ser usado na função sem causar problemas, como divisões por zero ou raízes de números negativos.
Passo 4
Agora, vamos ao gráfico da função. Como é uma função de duas variáveis lineares, o gráfico dela será um plano no espaço tridimensional. Podemos reescrever a função para facilitar a visualização:
Isso descreve um plano inclinado que intercepta o eixo
no ponto
e desce à medida que
ou
aumentam.
Passo 5
Para desenhar o gráfico, podemos encontrar alguns pontos chave:
- Se
e , então . - Se
e , então . - Se
e , então .
Com esses pontos, conseguimos desenhar o plano inclinado no espaço.
Passo 6
Finalmente, vamos determinar as curvas de nível da função. As curvas de nível são as curvas no plano
onde a função assume valores constantes. Para isso, definimos
, onde
é uma constante, e resolvemos para
e
:
Isso representa uma família de linhas retas no plano
, onde cada valor de
gera uma linha paralela diferente.
Resposta
- Domínio:
(todos os pares reais). - Gráfico: Um plano inclinado definido por
. - Curvas de nível: Linhas retas da forma
.
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