Encontre o domínio, o gráfico e as curvas de nível de cada função

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa encontrar o domínio, o gráfico e as curvas de nível da função . Isso está dentro do conteúdo de funções de duas variáveis. Para isso, a gente vai precisar entender como determinar onde a função está definida (domínio), como ela se comporta no espaço (gráfico) e como são as curvas que representam níveis constantes da função (curvas de nível).

Passo 2

Primeiro, vamos achar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares para os quais a função está definida. Olhando para a nossa função , a gente vê que não há nenhuma restrição para o valor de , já que não aparece na expressão. O único termo é , que está definido para todo real. Então, o domínio é todo o plano .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o gráfico da função. Como a função depende apenas de , isso significa que o valor de só muda com e não com . Geometricamente, isso resulta em um cilindro parabólico que se estende indefinidamente ao longo do eixo . A forma da parábola é determinada pela expressão , que abre para baixo com o vértice no ponto .

Passo 4

Por fim, vamos encontrar as curvas de nível da função. As curvas de nível são as curvas no plano onde a função assume um valor constante. Ou seja, para um valor constante , a curva de nível é dada por:
Resolvendo para :
Para que a raiz seja real, , ou seja, . Portanto, as curvas de nível são linhas verticais paralelas ao eixo , localizadas em e . Cada valor de nos dá duas linhas verticais simétricas em relação ao eixo .

Resposta

  • Domínio: (todos os pares )
  • Gráfico: Um cilindro parabólico que se abre para baixo, definido pela equação
  • Curvas de nível: Linhas verticais e para todo

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