Encontre o domínio, o gráfico e as curvas de nível de cada função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa encontrar o domínio, o gráfico e as curvas de nível da função
. Isso está dentro do conteúdo de funções de duas variáveis. Para isso, a gente vai precisar entender como determinar onde a função está definida (domínio), como ela se comporta no espaço (gráfico) e como são as curvas que representam níveis constantes da função (curvas de nível).
Passo 2
Primeiro, vamos achar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está definida. Olhando para a nossa função
, a gente vê que não há nenhuma restrição para o valor de
, já que
não aparece na expressão. O único termo é
, que está definido para todo
real. Então, o domínio é todo o plano
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o gráfico da função. Como a função depende apenas de
, isso significa que o valor de
só muda com
e não com
. Geometricamente, isso resulta em um cilindro parabólico que se estende indefinidamente ao longo do eixo
. A forma da parábola é determinada pela expressão
, que abre para baixo com o vértice no ponto
.
Passo 4
Por fim, vamos encontrar as curvas de nível da função. As curvas de nível são as curvas no plano
onde a função assume um valor constante. Ou seja, para um valor constante
, a curva de nível é dada por:
Resolvendo para
:
Para que a raiz seja real,
, ou seja,
. Portanto, as curvas de nível são linhas verticais paralelas ao eixo
, localizadas em
e
. Cada valor de
nos dá duas linhas verticais simétricas em relação ao eixo
.
Resposta
- Domínio:
(todos os pares ) - Gráfico: Um cilindro parabólico que se abre para baixo, definido pela equação
- Curvas de nível: Linhas verticais
e para todo
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