Encontre o domínio, o gráfico e as curvas de nível de cada função

Passo 1

Beleza, vamos resolver a função . O que a gente precisa descobrir aqui é três coisas:
  1. Domínio: onde a função está definida, ou seja, para quais valores de e a expressão dentro da raiz quadrada dá um número real.
  2. Gráfico: como essa função se parece no espaço tridimensional.
  3. Curvas de nível: as curvas no plano onde a função assume valores constantes.
Pra isso, vamos precisar lembrar de algumas noções de álgebra e geometria, como condições de existência de raízes quadradas e a representação gráfica de funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. A raiz quadrada só está definida para números maiores ou iguais a zero. Então, temos que:
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de e que satisfazem isso.

Passo 3

Rearranjando a desigualdade:
Dividindo todos os termos por 16 para simplificar:
Essa é a equação de uma elipse no plano , onde o eixo maior tem comprimento 8 (pois , então ) ao longo do eixo e o eixo menor tem comprimento 2 ao longo do eixo .

Passo 4

Então, o domínio da função são todos os pontos que estão dentro ou sobre essa elipse. Ou seja:

Passo 5

Agora, vamos pensar no gráfico da função . Essa função representa a altura para cada ponto dentro do domínio que encontramos.
Observando a equação, podemos reescrevê-la ao elevar ambos os lados ao quadrado:
Rearranjando:
Essa é a equação de um elipsoide na metade superior (porque é a raiz quadrada, então ).

Passo 6

Por fim, vamos determinar as curvas de nível da função. As curvas de nível são as curvas no plano onde a função assume um valor constante .
Definindo , temos:
Elevando ao quadrado:
Rearranjando:
Dividindo por :
Isso mostra que para cada valor de , a curva de nível é uma elipse com semieixos dependentes de .

Resposta

O domínio da função é a elipse . O gráfico da função é a metade superior de um elipsoide definido por . As curvas de nível são elipses da forma para cada constante dentro do domínio.

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