Encontre o domínio, a imagem e esboce o gráfico usando transformações de funções. f(x) = 3^(x + 4)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver este exercício sobre a função exponencial . O que precisamos fazer aqui é encontrar o domínio (todos os valores de que a função aceita), a imagem (todos os valores possíveis de ), e esboçar o gráfico da função usando transformações. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções exponenciais e como elas podem ser transformadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Para funções exponenciais como , não há restrições nos valores de porque exponenciar qualquer número real está sempre definido.
Então, o domínio é:
í
Isso significa que qualquer número real pode ser inserido na função.

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função. A imagem são todos os possíveis valores de . Para uma função exponencial da forma com e , os valores de são sempre positivos, ou seja, .
Portanto, a imagem é:
Isso indica que a função nunca atinge zero ou valores negativos.

Passo 4

Vamos agora esboçar o gráfico usando transformações de funções. A função base aqui é . A nossa função é , o que significa que estamos aplicando uma translação horizontal.
A expressão dentro do expoente indica que o gráfico da função foi deslocado 4 unidades para a esquerda. Isso porque, em funções, adicionar um número dentro da função geralmente move o gráfico na direção oposta desse número.
Então, o gráfico de será igual ao gráfico de moveu 4 unidades para a esquerda.

Resposta

  • Domínio: (todos os números reais)
  • Imagem: (todos os números positivos)
  • Gráfico: É o gráfico de deslocado 4 unidades para a esquerda.

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