Expresse o conjunto das soluções da inequação dada em notação de intervalo. 4/(x-2) < (x+1)/(2x+5)

Passo 1

Vamos analisar a inequação dada: . Para resolver essa inequação, vamos utilizar conhecimentos de álgebra, especificamente sobre inequações racionais. Precisaremos manipular as frações para encontrar os valores de que satisfazem a condição.

Passo 2

Primeiro, vamos trazer todos os termos para o lado esquerdo da inequação para ter uma única expressão menor que zero:

Passo 3

Para combinar as frações, precisamos encontrar um denominador comum. O denominador comum será o produto dos denominadores individuais:

Passo 4

Reescrevendo as frações com o denominador comum, temos:

Passo 5

Agora, vamos simplificar o numerador:
Substituindo na expressão:

Passo 6

Simplificando o numerador:
Portanto, a inequação fica:

Passo 7

Para resolver a inequação, vamos encontrar os valores de que fazem o numerador ou o denominador igual a zero.
Numerador:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Assim, temos e .
Denominador:

Passo 8

Identificamos os pontos críticos: , , e . Esses valores dividem a reta numérica em intervalos onde a inequação pode ser analisada:

Passo 9

Vamos determinar o sinal da expressão em cada intervalo:
  1. : Escolha
  2. : Escolha
  3. : Escolha
  4. : Escolha
  5. : Escolha
Calculando o sinal em cada intervalo, determinamos onde a expressão é negativa.

Resposta

O conjunto das soluções da inequação em notação de intervalo é:

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