Seja f(x) = x^2 + 1. Encontre uma função g tal que:
g(f(x)) = 9x^4 + 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos a função e queremos encontrar uma função tal que, quando a gente compõe com , ou seja, , o resultado seja . Vamos usar conceitos de composição de funções e álgebra básica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que a gente vai pegar o valor de e colocar como entrada na função . Ou seja, se , então .

Passo 3

Sabemos que precisa ser igual a . Então, temos a equação:

Passo 4

Vamos simplificar pensando em uma variável diferente. Vamos chamar . Assim, a equação fica:
Mas precisamos expressar tudo em termos de .

Passo 5

Observamos que . Então, .

Passo 6

Substituindo na equação de , temos:

Passo 7

Agora, vamos expandir a expressão:

Resposta

A função é dada por:

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