(1,5 pontos) Encontre a área da região em forma de lua crescente delimitada pelos arcos dos círculos de raios r e R (figura à direita). Lembre-se, que o círculo tem equação geral (x-a)² + (y-b)² = r². (Dica: faça um esboço no plano cartesiano considerando a circunferência maior com centro na origem e admita que a distância entre os centros é b, tal que r < b < R, e defina as coordenadas do centro da circunferência menor em função de r e R. Defina o centro da circunferência menor. Escreva as equações dessas circunferências e encontre os pontos de interseção para definir o intervalo de integração. Use simetrias para calcular a integral.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área de uma “lua crescente” formada pela interseção de dois círculos com raios diferentes, r e R. Vamos usar geometria analítica para isso, ou seja, trabalhar com as equações das circunferências no plano cartesiano. Para resolver, vamos precisar:
  • Entender a equação de uma circunferência.
  • Encontrar os pontos onde as duas circunferências se cruzam.
  • Integrar para achar a área da região comum, aproveitando a simetria do problema.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar as duas circunferências no plano cartesiano. Vamos colocar a circunferência maior com raio R centrada na origem, ou seja, no ponto (0,0). A equação dessa circunferência é:
Agora, a circunferência menor tem raio r e está deslocada na horizontal a uma distância b da origem, com . Então, o centro dessa circunferência menor fica no ponto . A equação dela é:

Passo 3

Nossa próxima etapa é encontrar os pontos de interseção dessas duas circunferências. Para isso, vamos resolver o sistema de equações:
Subtraindo a segunda equação da primeira, temos:
Simplificando:
Vamos chamar esse valor de . Agora, para achar y, substituímos em uma das equações originais, por exemplo, na primeira:
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 4

Agora que temos os pontos de interseção, vamos determinar os limites de integração para calcular a área da lua crescente. Observando o desenho, vemos que a região é simétrica em relação ao eixo x, então podemos calcular a área de uma metade e multiplicar por 2.
A área será a diferença entre a área da circunferência maior e a área da circunferência menor, mas apenas na região de sobreposição definida pelos pontos de interseção que encontramos.

Passo 5

Vamos configurar a integral para encontrar a área. A fórmula geral para a área entre duas curvas e , de a , é:
Á
No nosso caso, as funções são as partes superiores das circunferências:
Então, a área de uma metade da lua crescente será:
Á
onde é o limite inferior de integração, que corresponde ao ponto onde começa a sobreposição.

Passo 6

Integrando, temos que a área total da lua crescente é o dobro da área calculada acima (pela simetria):
Á
Essa integral pode ser resolvida utilizando técnicas de integração por substituição e reconhecimento de áreas de setores circulares e triângulos formados pelas interseções, mas o passo principal é configurar corretamente a integral com os limites certos e as funções corretas.

Resposta

A área da região em forma de lua crescente delimitada pelos arcos dos círculos com raios r e R é dada por:
Á
onde e é o limite inferior de integração determinado pelos pontos de interseção das circunferências.

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