(1,5 pontos) Encontre a área da região em forma de lua crescente delimitada pelos arcos dos círculos de raios
e
(figura à direita). Lembre-se, que o círculo tem equação geral
. (Dica: faça um esboço no plano cartesiano considerando a circunferência maior com centro na origem e admita que a distância entre os centros é
, tal que
, e defina as coordenadas do centro da circunferência menor em função de
e
. Defina o centro da circunferência menor. Escreva as equações dessas circunferências e encontre os pontos de interseção para definir o intervalo de integração. Use simetrias para calcular a integral.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área de uma “lua crescente” formada pela interseção de dois círculos com raios diferentes,
e
. Vamos usar geometria analítica para isso, ou seja, trabalhar com as equações das circunferências no plano cartesiano. Para resolver, vamos precisar:
- Entender a equação de uma circunferência.
- Encontrar os pontos onde as duas circunferências se cruzam.
- Integrar para achar a área da região comum, aproveitando a simetria do problema.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar as duas circunferências no plano cartesiano. Vamos colocar a circunferência maior com raio
centrada na origem, ou seja, no ponto
. A equação dessa circunferência é:
Agora, a circunferência menor tem raio
e está deslocada na horizontal a uma distância
da origem, com
. Então, o centro dessa circunferência menor fica no ponto
. A equação dela é:
Passo 3
Nossa próxima etapa é encontrar os pontos de interseção dessas duas circunferências. Para isso, vamos resolver o sistema de equações:
Subtraindo a segunda equação da primeira, temos:
Simplificando:
Vamos chamar esse valor de
. Agora, para achar
, substituímos
em uma das equações originais, por exemplo, na primeira:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 4
Agora que temos os pontos de interseção, vamos determinar os limites de integração para calcular a área da lua crescente. Observando o desenho, vemos que a região é simétrica em relação ao eixo
, então podemos calcular a área de uma metade e multiplicar por 2.
A área será a diferença entre a área da circunferência maior e a área da circunferência menor, mas apenas na região de sobreposição definida pelos pontos de interseção que encontramos.
Passo 5
Vamos configurar a integral para encontrar a área. A fórmula geral para a área entre duas curvas
e
, de
a
, é:
No nosso caso, as funções são as partes superiores das circunferências:
Então, a área de uma metade da lua crescente será:
onde
é o limite inferior de integração, que corresponde ao ponto onde começa a sobreposição.
Passo 6
Integrando, temos que a área total da lua crescente é o dobro da área calculada acima (pela simetria):
Essa integral pode ser resolvida utilizando técnicas de integração por substituição e reconhecimento de áreas de setores circulares e triângulos formados pelas interseções, mas o passo principal é configurar corretamente a integral com os limites certos e as funções corretas.
Resposta
A área da região em forma de lua crescente delimitada pelos arcos dos círculos com raios
e
é dada por:
onde
e
é o limite inferior de integração determinado pelos pontos de interseção das circunferências.