Encontre o domínio, a imagem e esboce o gráfico usando transformações de funções.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer é encontrar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico da função usando transformações de funções. Para isso, vamos lembrar o que cada um desses termos significa e usar propriedades de funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de que a gente pode colocar na função sem causar problemas, tipo divisão por zero ou raiz de número negativo. No caso de funções exponenciais como , a gente pode usar qualquer número real para , porque a base (3) positiva não dá problema. Então, o domínio de é todos os números reais.

Passo 3

Agora, a gente vai ver a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores de saída da função, ou seja, os valores que pode assumir. Como é uma função exponencial com base maior que 1, ela nunca vai ser zero ou negativa. Portanto, a imagem é todos os números reais positivos, ou seja, .

Passo 4

Vamos esboçar o gráfico usando transformações da função exponencial básica . A função pode ser vista como uma translação horizontal da função . O termo dentro do expoente indica que o gráfico foi deslocado 4 unidades para a esquerda. Então, para desenhar o gráfico:
  1. Comece com o gráfico de .
  2. Desloque todo o gráfico 4 unidades para a esquerda para obter .

Resposta

  • Domínio: Todos os números reais, .
  • Imagem: Todos os números reais positivos, .
  • Gráfico: É a função deslocada 4 unidades para a esquerda, ou seja, .

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  • Dadas as funções reais definidas por e , determine o valor de de modo que se tenha .