Encontre o domínio, a imagem e esboce o gráfico usando transformações de funções.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico da função
. Vamos usar conceitos de funções logarítmicas e suas transformações para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Como temos um logaritmo natural, sabemos que o argumento dentro do logaritmo tem que ser maior que zero.
Então, vamos resolver a desigualdade:
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Portanto, o domínio de
é todos os números reais maiores que -2.
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores de saída da função. Sabemos que o logaritmo natural
pode assumir qualquer valor real, ou seja,
quando
.
No nosso caso, temos
. Isso significa que a imagem será todos os valores reais multiplicados por -1, então:
Ou seja, a imagem também é todos os números reais.
Passo 4
Vamos esboçar o gráfico usando transformações da função básica
. As transformações envolvidas são:
- Translação horizontal: Dentro do logaritmo, temos
, o que desloca o gráfico 2 unidades para a esquerda. - Reflexão: O sinal negativo na frente do logaritmo reflete o gráfico em relação ao eixo
.
Então, partindo do gráfico da função
, primeiro a gente move tudo 2 passos para a esquerda, e depois reflete sobre o eixo
.
Resposta
- Domínio:
- Imagem:
- Gráfico: O gráfico de
é uma reflexão do gráfico de em relação ao eixo e deslocado 2 unidades para a esquerda.
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Encontre o domínio da função
- Dadas as funções reais definidas por
e , determine o valor de de modo que se tenha .
Encontre as outras medidas dos ângulos que faltam (seno, cosseno e tangente) se: