Encontre o domínio, a imagem e esboce o gráfico usando transformações de funções.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico da função . Vamos usar conceitos de funções logarítmicas e suas transformações para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Como temos um logaritmo natural, sabemos que o argumento dentro do logaritmo tem que ser maior que zero.
Então, vamos resolver a desigualdade:
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Portanto, o domínio de é todos os números reais maiores que -2.

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores de saída da função. Sabemos que o logaritmo natural pode assumir qualquer valor real, ou seja, quando .
No nosso caso, temos . Isso significa que a imagem será todos os valores reais multiplicados por -1, então:
Ou seja, a imagem também é todos os números reais.

Passo 4

Vamos esboçar o gráfico usando transformações da função básica . As transformações envolvidas são:
  1. Translação horizontal: Dentro do logaritmo, temos , o que desloca o gráfico 2 unidades para a esquerda.
  2. Reflexão: O sinal negativo na frente do logaritmo reflete o gráfico em relação ao eixo .
Então, partindo do gráfico da função , primeiro a gente move tudo 2 passos para a esquerda, e depois reflete sobre o eixo .

Resposta

  • Domínio:
  • Imagem:
  • Gráfico: O gráfico de é uma reflexão do gráfico de em relação ao eixo e deslocado 2 unidades para a esquerda.

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