Encontre o domínio, a imagem e esboce o gráfico usando transformações de funções.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico da função
usando transformações de funções. Vamos precisar entender sobre funções logarítmicas, especialmente o logaritmo natural, e como transformações como deslocamentos afetam o gráfico.
Passo 2
Encontrando o Domínio:
Primeiro, o domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. No caso da função logarítmica
, o argumento
deve ser positivo, ou seja,
.
Na nossa função,
. Então, precisamos que:
Portanto, o domínio de
é todos os números reais maiores que 3.
Passo 3
Encontrando a Imagem:
A imagem (ou o contradomínio) de uma função é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir. Para a função
, a imagem é todo número real, ou seja,
.
Como nossa função é
, que é apenas uma translação horizontal da função
, a imagem permanece a mesma.
Então, a imagem de
é
.
Passo 4
Esboçando o Gráfico Usando Transformações:
A função básica
tem algumas características chave:
- Passa pelo ponto
. - Assíntota vertical em
. - Cresce lentamente à medida que
aumenta.
Nossa função é
, o que significa que estamos aplicando uma translação horizontal de 3 unidades para a direita na função
.
Passos para o esboço:
-
Translação Horizontal: Mover o gráfico de
3 unidades para a direita. Isso muda a assíntota vertical de para . -
Ponto de Partida: O ponto original
será movido para . -
Forma do Gráfico: A forma geral permanece a mesma, apenas deslocada para a direita.
Então, o gráfico de
terá uma assíntota vertical em
e passará pelo ponto
.
Resposta
- Domínio:
- Imagem:
- Gráfico: É uma função logarítmica
deslocada 3 unidades para a direita, com assíntota vertical em e passando pelo ponto .
Exercícios relacionados
Encontre o domínio, a imagem e esboce o gráfico usando transformações de funções.
Encontre o domínio da função
- Seja
uma função que satisfaz . Calcule . Conclua que .
Encontre
e
, e estabeleça os domínios de: