Encontre o domínio, a imagem e esboce o gráfico usando transformações de funções.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico da função usando transformações de funções. Vamos precisar entender sobre funções logarítmicas, especialmente o logaritmo natural, e como transformações como deslocamentos afetam o gráfico.

Passo 2

Encontrando o Domínio:
Primeiro, o domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. No caso da função logarítmica , o argumento deve ser positivo, ou seja, .
Na nossa função, . Então, precisamos que:
Portanto, o domínio de é todos os números reais maiores que 3.

Passo 3

Encontrando a Imagem:
A imagem (ou o contradomínio) de uma função é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir. Para a função , a imagem é todo número real, ou seja, .
Como nossa função é , que é apenas uma translação horizontal da função , a imagem permanece a mesma.
Então, a imagem de é .

Passo 4

Esboçando o Gráfico Usando Transformações:
A função básica tem algumas características chave:
  • Passa pelo ponto .
  • Assíntota vertical em .
  • Cresce lentamente à medida que aumenta.
Nossa função é , o que significa que estamos aplicando uma translação horizontal de 3 unidades para a direita na função .
Passos para o esboço:
  1. Translação Horizontal: Mover o gráfico de 3 unidades para a direita. Isso muda a assíntota vertical de para .
  2. Ponto de Partida: O ponto original será movido para .
  3. Forma do Gráfico: A forma geral permanece a mesma, apenas deslocada para a direita.
Então, o gráfico de terá uma assíntota vertical em e passará pelo ponto .

Resposta

  • Domínio:
  • Imagem:
  • Gráfico: É uma função logarítmica deslocada 3 unidades para a direita, com assíntota vertical em e passando pelo ponto .

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