Encontre o domínio, a imagem e esboce o gráfico usando transformações de funções.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos o domínio, a imagem e esboçar o gráfico da função
usando transformações de funções. Isso envolve entender de onde a função vale (domínio), quais valores ela pode assumir (imagem) e como o gráfico dela se comporta no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
A função
é um polinômio do segundo grau, e os polinômios são definidos para todos os números reais. Então, o domínio de
é:
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função, ou seja, os possíveis valores que
pode assumir.
A função
é uma parábola que abre para cima, já que o coeficiente de
é positivo. O termo
é sempre maior ou igual a zero, então:
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Isso significa que o mínimo valor de
é
. Portanto, a imagem da função é todos os valores maiores ou iguais a
:
Passo 4
Vamos esboçar o gráfico usando transformações de funções. A função básica que vamos usar é
, que é uma parábola com vértice na origem (0,0).
A função
pode ser vista como uma transformação de
de duas formas:
-
Translação horizontal:
está substituído por , o que significa que a parábola foi deslocada 3 unidades para a direita. -
Translação vertical: Depois da translação horizontal, subtraímos 2, o que desloca a parábola 2 unidades para baixo.
Então, o vértice da parábola
está em
.
Passo 5
Com essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- Vértice em
. - A parábola abre para cima.
- Pontos adicionais podem ser plotados, substituindo valores de
na função para facilitar o desenho.
Resposta
- Domínio:
(todos os números reais). - Imagem:
. - Gráfico: Uma parábola com vértice em
, abrindo para cima.
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