Encontre o domínio, a imagem e esboce o gráfico usando transformações de funções.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos o domínio, a imagem e esboçar o gráfico da função usando transformações de funções. Isso envolve entender de onde a função vale (domínio), quais valores ela pode assumir (imagem) e como o gráfico dela se comporta no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
A função é um polinômio do segundo grau, e os polinômios são definidos para todos os números reais. Então, o domínio de é:
íú

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função, ou seja, os possíveis valores que pode assumir.
A função é uma parábola que abre para cima, já que o coeficiente de é positivo. O termo é sempre maior ou igual a zero, então:
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Isso significa que o mínimo valor de é . Portanto, a imagem da função é todos os valores maiores ou iguais a :

Passo 4

Vamos esboçar o gráfico usando transformações de funções. A função básica que vamos usar é , que é uma parábola com vértice na origem (0,0).
A função pode ser vista como uma transformação de de duas formas:
  1. Translação horizontal: está substituído por , o que significa que a parábola foi deslocada 3 unidades para a direita.
  2. Translação vertical: Depois da translação horizontal, subtraímos 2, o que desloca a parábola 2 unidades para baixo.
Então, o vértice da parábola está em .

Passo 5

Com essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  1. Vértice em .
  2. A parábola abre para cima.
  3. Pontos adicionais podem ser plotados, substituindo valores de na função para facilitar o desenho.

Resposta

  • Domínio: (todos os números reais).
  • Imagem: .
  • Gráfico: Uma parábola com vértice em , abrindo para cima.

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