Encontre o domínio, a imagem e esboce o gráfico usando transformações de funções.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar o domínio (todos os valores de
para os quais a função está definida), a imagem (todos os valores que
pode assumir) e esboçar o gráfico da função
usando transformações de funções. Para isso, vamos precisar entender as propriedades das funções exponenciais e como elas são afetadas por transformações como translação e reflexão.
Passo 2
Determinar o domínio da função.
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
A função dada é
.
A função exponencial
está definida para todos os números reais. Não há nenhuma restrição como divisão por zero ou radiciação de número negativo.
Portanto, o domínio de
é:
Passo 3
Determinar a imagem da função.
A imagem (ou o conjunto imagem) de uma função é o conjunto de todos os valores de
que a função pode assumir.
Vamos analisar a função
.
Sabemos que
é sempre positivo, já que a exponencial nunca se torna negativa. Assim,
para todo
.
Portanto,
, e quando subtrairmos 1, teremos:
Além disso, quando
tende para
,
tende a 0, então:
E quando
tende a
,
tende a
, assim:
Portanto, a imagem de
é:
Passo 4
Esboçar o gráfico utilizando transformações de funções.
Vamos começar com a função básica
, e aplicar as transformações para chegar à função
.
-
Reflexão em relação ao eixo y:A função
é uma reflexão da função em relação ao eixo y. -
Multiplicação por -1:Multiplicar a função por -1,
, reflete a função em relação ao eixo x. -
Translação para baixo:Subtrair 1,
, move a função 1 unidade para baixo no gráfico.
Portanto, o gráfico de
é uma função exponencial decrescente que nunca atinge o valor -1, assemelhando-se a uma curva que se aproxima assintoticamente da linha
.
Resposta
-
Domínio:
(todos os números reais) -
Imagem:
-
Gráfico: Uma curva exponencial decrescente que se aproxima da linha
, refletida em relação ao eixo y e deslocada 1 unidade para baixo.
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(incluindo o domínio dela) que satisfaz
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Encontre
e
, e estabeleça os domínios de:
Encontre
.