Encontre o domínio, a imagem e esboce o gráfico usando transformações de funções.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar o domínio (todos os valores de para os quais a função está definida), a imagem (todos os valores que pode assumir) e esboçar o gráfico da função usando transformações de funções. Para isso, vamos precisar entender as propriedades das funções exponenciais e como elas são afetadas por transformações como translação e reflexão.

Passo 2

Determinar o domínio da função.
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
A função dada é .
A função exponencial está definida para todos os números reais. Não há nenhuma restrição como divisão por zero ou radiciação de número negativo.
Portanto, o domínio de é:
íú

Passo 3

Determinar a imagem da função.
A imagem (ou o conjunto imagem) de uma função é o conjunto de todos os valores de que a função pode assumir.
Vamos analisar a função .
Sabemos que é sempre positivo, já que a exponencial nunca se torna negativa. Assim, para todo .
Portanto, , e quando subtrairmos 1, teremos:
Além disso, quando tende para , tende a 0, então:
E quando tende a , tende a , assim:
Portanto, a imagem de é:

Passo 4

Esboçar o gráfico utilizando transformações de funções.
Vamos começar com a função básica , e aplicar as transformações para chegar à função .
  1. Reflexão em relação ao eixo y:
    A função é uma reflexão da função em relação ao eixo y.
  2. Multiplicação por -1:
    Multiplicar a função por -1, , reflete a função em relação ao eixo x.
  3. Translação para baixo:
    Subtrair 1, , move a função 1 unidade para baixo no gráfico.
Portanto, o gráfico de é uma função exponencial decrescente que nunca atinge o valor -1, assemelhando-se a uma curva que se aproxima assintoticamente da linha .

Resposta

  • Domínio: (todos os números reais)
  • Imagem:
  • Gráfico: Uma curva exponencial decrescente que se aproxima da linha , refletida em relação ao eixo y e deslocada 1 unidade para baixo.

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