Expresse o conjunto das soluções da inequação dada em notação de intervalo. (4 x^2 - 16) / (3 x - 2) <= 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver a inequação . Isso envolve trabalhar com funções racionais, ou seja, frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar encontrar os valores de x que tornam a fração igual a zero ou negativa.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o numerador pra facilitar. Olha só:
Então, a inequação fica:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de x que fazem o numerador ou o denominador serem zero.
  • Numerador zero:
  • Denominador zero:
Esses valores dividem a reta numérica em intervalos onde a inequação pode mudar de sinal.

Passo 4

Vamos dividir a reta numérica usando os pontos críticos que encontramos: , e x = 2. Isso cria quatro intervalos:
  1. x > 2
Vamos testar um valor de x em cada intervalo para ver se a inequação é verdadeira ou não.

Passo 5

Vamos escolher um número de cada intervalo e substituir na inequação:
  1. Para (vamos usar ):
    Verdadeiro, porque é negativo.
  2. Para (vamos usar x = 0):
    Falso, porque é positivo.
  3. Para (vamos usar x = 1):
    Verdadeiro, porque é negativo.
  4. Para x > 2 (vamos usar ):
    Falso, porque é positivo.

Passo 6

Além dos intervalos onde a inequação é verdadeira, precisamos incluir os pontos onde a fração é igual a zero, ou seja, e x = 2. Porém, o ponto não está incluído porque o denominador seria zero, o que não é permitido.

Resposta

O conjunto solução da inequação é:

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