Expresse o conjunto das soluções da inequação dada em notação de intervalo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver a inequação . Isso envolve trabalhar com funções racionais, ou seja, frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar encontrar os valores de que tornam a fração igual a zero ou negativa.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o numerador pra facilitar. Olha só:
Então, a inequação fica:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de que fazem o numerador ou o denominador serem zero.
Numerador zero:
Denominador zero:
Esses valores dividem a reta numérica em intervalos onde a inequação pode mudar de sinal.
Passo 4
Vamos dividir a reta numérica usando os pontos críticos que encontramos: , e . Isso cria quatro intervalos:
Vamos testar um valor de em cada intervalo para ver se a inequação é verdadeira ou não.
Passo 5
Vamos escolher um número de cada intervalo e substituir na inequação:
Para (vamos usar ):
Verdadeiro, porque é negativo.
Para (vamos usar ):
Falso, porque é positivo.
Para (vamos usar ):
Verdadeiro, porque é negativo.
Para (vamos usar ):
Falso, porque é positivo.
Passo 6
Além dos intervalos onde a inequação é verdadeira, precisamos incluir os pontos onde a fração é igual a zero, ou seja, e . Porém, o ponto não está incluído porque o denominador seria zero, o que não é permitido.