Encontre o domínio, a imagem e esboce o gráfico usando transformações de funções. h(x) = 5 - raiz(cubica(x))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico da função usando transformações de funções. A função que vamos analisar é:
Para isso, vamos precisar entender o que são domínio e imagem de uma função, além de como aplicar transformações básicas para desenhar o gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
A função é a raiz cúbica de . Diferente da raiz quadrada, a raiz cúbica está definida para todos os números reais, positivos e negativos. Portanto, não há restrições para na expressão .
Assim, o domínio de é:
íú

Passo 3

Agora, vamos encontrar a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores possíveis de .
A função pode gerar qualquer número real, já que a raiz cúbica de qualquer real é um real. Quando subtraímos de 5, estamos deslocando todos os valores de para baixo, mas ainda assim, pode assumir qualquer valor real.
Portanto, a imagem de também é:
ú

Passo 4

Vamos esboçar o gráfico da função usando transformações. Para isso, vamos partir da função básica e aplicar as transformações necessárias para chegar em .
  1. Reflexão em relação ao eixo : A expressão reflete o gráfico de em relação ao eixo . Isso inverte o gráfico verticalmente.
  2. Translação vertical para cima: Ao adicionar 5, ou seja, , deslocamos todo o gráfico 5 unidades para cima.
Então, o processo de transformação fica assim:
  • Começamos com .
  • Aplicamos a reflexão: .
  • Finalmente, deslocamos 5 unidades para cima: .

Resposta

  • Domínio: Todos os números reais, .
  • Imagem: Todos os números reais, .
  • Gráfico: O gráfico de é obtido refletindo o gráfico da raiz cúbica em relação ao eixo e, em seguida, deslocando-o 5 unidades para cima.

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