Encontre o domínio, a imagem e esboce o gráfico usando transformações de funções.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico da função usando transformações de funções. A função que vamos analisar é:
Para isso, vamos precisar entender o que são domínio e imagem de uma função, além de como aplicar transformações básicas para desenhar o gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
A função
é a raiz cúbica de
. Diferente da raiz quadrada, a raiz cúbica está definida para todos os números reais, positivos e negativos. Portanto, não há restrições para
na expressão
.
Assim, o domínio de
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores possíveis de
.
A função
pode gerar qualquer número real, já que a raiz cúbica de qualquer real é um real. Quando subtraímos
de 5, estamos deslocando todos os valores de
para baixo, mas ainda assim,
pode assumir qualquer valor real.
Portanto, a imagem de
também é:
Passo 4
Vamos esboçar o gráfico da função usando transformações. Para isso, vamos partir da função básica
e aplicar as transformações necessárias para chegar em
.
-
Reflexão em relação ao eixo
: A expressão reflete o gráfico de em relação ao eixo . Isso inverte o gráfico verticalmente. -
Translação vertical para cima: Ao adicionar 5, ou seja,
, deslocamos todo o gráfico 5 unidades para cima.
Então, o processo de transformação fica assim:
- Começamos com
. - Aplicamos a reflexão:
. - Finalmente, deslocamos 5 unidades para cima:
.
Resposta
- Domínio: Todos os números reais,
. - Imagem: Todos os números reais,
. - Gráfico: O gráfico de
é obtido refletindo o gráfico da raiz cúbica em relação ao eixo e, em seguida, deslocando-o 5 unidades para cima.