Encontre o domínio, a imagem e esboce o gráfico usando transformações de funções.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico da função . Vamos usar conhecimentos de funções exponenciais e transformações de funções. Para isso, vamos precisar entender o comportamento da função exponencial e como ela se transforma quando fazemos operações como subtração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função . O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. A função exponencial está definida para todo número real, ou seja, . Como estamos subtraindo de 1, isso não muda o domínio. Portanto, o domínio de é todos os números reais.

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função . A imagem é o conjunto de todos os valores que pode assumir. Sabemos que é sempre positivo e cresce sem limites conforme aumenta. Assim, vai diminuir sem limites. Para tendendo a , tende a 0, então tende a 1. Para tendendo a , tende a . Portanto, a imagem de é .

Passo 4

Vamos esboçar o gráfico da função usando transformações. A função base é . A função é uma reflexão da função exponencial em relação ao eixo . Então, é a função deslocada 1 unidade para cima. Podemos seguir esses passos:
  1. Trace o gráfico da função .
  2. Inverta-o em relação ao eixo para obter .
  3. Desloque o gráfico resultante 1 unidade para cima para obter .

Resposta

O domínio de é (todos os números reais), a imagem é , e o gráfico da função é uma curva exponencial decrescente que passa pelo ponto e se aproxima de conforme tende a .

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Encontre e , e estabeleça os domínios de:
Encontre .