Encontre o domínio, a imagem e esboce o gráfico usando transformações de funções.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico da função
. Vamos usar conhecimentos de funções exponenciais e transformações de funções. Para isso, vamos precisar entender o comportamento da função exponencial
e como ela se transforma quando fazemos operações como subtração.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função
. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. A função exponencial
está definida para todo número real, ou seja,
. Como estamos subtraindo
de 1, isso não muda o domínio. Portanto, o domínio de
é todos os números reais.
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função
. A imagem é o conjunto de todos os valores que
pode assumir. Sabemos que
é sempre positivo e cresce sem limites conforme
aumenta. Assim,
vai diminuir sem limites. Para
tendendo a
,
tende a 0, então
tende a 1. Para
tendendo a
,
tende a
. Portanto, a imagem de
é
.
Passo 4
Vamos esboçar o gráfico da função usando transformações. A função base é
. A função
é uma reflexão da função exponencial em relação ao eixo
. Então,
é a função
deslocada 1 unidade para cima. Podemos seguir esses passos:
- Trace o gráfico da função
. - Inverta-o em relação ao eixo
para obter . - Desloque o gráfico resultante 1 unidade para cima para obter
.
Resposta
O domínio de
é
(todos os números reais), a imagem é
, e o gráfico da função é uma curva exponencial decrescente que passa pelo ponto
e se aproxima de
conforme
tende a
.
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e
, e estabeleça os domínios de:
Encontre
.