Nos exercícios a seguir,(a) encontre o domínio da função,(b) encontre a imagem da função,© descreva as curvas de nível da função,(d) encontre a fronteira do domínio da função,(e) determine se o domínio é uma região aberta, uma região fechada ou nenhuma das duas e (f) decida se o domínio é limitado ou não limitado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função . A matéria envolvida aqui é análise de funções de duas variáveis, onde a gente vai explorar conceitos como domínio, imagem, curvas de nível, fronteira e características do domínio. Vamos precisar de noções básicas de álgebra e geometria analítica para entender tudo isso.

Passo 2

a) Encontrar o domínio da função
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores possíveis das variáveis de entrada que fazem a função estar bem definida. Para , estamos lidando com potências de e . Como todas as potências pares estão definidas para qualquer número real, não temos restrições aqui.
Então, o domínio é todo o plano , ou seja, todos os pares com e sendo números reais.

Passo 3

b) Encontrar a imagem da função
A imagem da função é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir. Observando , vemos que tanto quanto são sempre maiores ou iguais a zero, já que quadrados de números reais nunca são negativos.
Portanto, a menor imagem possível é (quando e ), e a função pode crescer sem limites à medida que ou aumentam. Assim, a imagem é .

Passo 4

c) Descrever as curvas de nível da função
Curvas de nível são conjuntos de pontos onde a função assume um valor constante . Para nossa função:
Essa é a equação de uma elipse quando . Se , a única solução é e . Portanto, para cada valor de , temos uma elipse diferente, todas centradas na origem .

Passo 5

d) Encontrar a fronteira do domínio da função
A fronteira de um conjunto é composta pelos pontos que estão “na margem” desse conjunto. Como o domínio da nossa função é todo o plano , ele não tem bordas ou limites. Toda a região está “dentro” sem nenhuma margem externa.
Portanto, a fronteira do domínio é o conjunto vazio, ou seja, não há fronteira.

Passo 6

e) Determinar se o domínio é uma região aberta, uma região fechada ou nenhuma das duas
Uma região aberta não inclui sua fronteira, enquanto uma região fechada inclui. No nosso caso, como o domínio é todo o plano , que não possui fronteira, ele é tanto aberto quanto fechado ao mesmo tempo. Mas geralmente, consideramos como uma região aberta.

Passo 7

f) Decidir se o domínio é limitado ou não limitado
Um conjunto é limitado se consegue ser contido dentro de uma bola de raio finito. Como o domínio é todo o plano, ele se estende infinitamente em todas as direções. Portanto, o domínio não é limitado.

Resposta

a) O domínio é todo o plano .
b) A imagem da função é .
c) As curvas de nível são elipses da forma .
d) A fronteira do domínio é o conjunto vazio.
e) O domínio é uma região aberta.
f) O domínio é não limitado.

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Encontre o domínio e a imagem da função , definida por
Seja a função definida por
$(a) Encontre a inversa de .
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