Encontre o domínio e a imagem das funções.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o domínio e a imagem da função
. Esse problema está relacionado com funções de duas variáveis e a função arco-tangente. Precisaremos entender onde a função está bem definida (domínio) e quais valores ela pode assumir (imagem).
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio consiste em todos os pares
para os quais a função está definida.
Passo 3
A função
está definida para todos os números reais, ou seja, qualquer valor real dentro dela é permitido. Portanto, não há restrições pela função
.
Passo 4
No entanto, temos o
, que implica que
não pode ser zero, pois divisão por zero não é permitida. Então, a única restrição para o domínio é que
.
Passo 5
Portanto, o domínio da função é todos os pares
onde
é diferente de zero.
Passo 6
Agora, vamos determinar a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir.
Passo 7
Como a função é o arco-tangente, sabemos que
para qualquer
retorna valores no intervalo
.
Passo 8
Portanto, independentemente dos valores de
e
(desde que
), o resultado de
estará sempre dentro desse intervalo.
Resposta
- Domínio: Todos os pares
onde . - Imagem:
.
Exercícios relacionados
Encontre o domínio e a imagem das funções.
Se
, encontre
Seja
.
Determine o domínio de .
Determine o domínio de
Se
, encontre