Encontre o domínio e a imagem das funções.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o domínio e a imagem da função . Esse problema está relacionado com funções de duas variáveis e a função arco-tangente. Precisaremos entender onde a função está bem definida (domínio) e quais valores ela pode assumir (imagem).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio consiste em todos os pares para os quais a função está definida.

Passo 3

A função está definida para todos os números reais, ou seja, qualquer valor real dentro dela é permitido. Portanto, não há restrições pela função .

Passo 4

No entanto, temos o , que implica que não pode ser zero, pois divisão por zero não é permitida. Então, a única restrição para o domínio é que .

Passo 5

Portanto, o domínio da função é todos os pares onde é diferente de zero.

Passo 6

Agora, vamos determinar a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir.

Passo 7

Como a função é o arco-tangente, sabemos que para qualquer retorna valores no intervalo .

Passo 8

Portanto, independentemente dos valores de e (desde que ), o resultado de estará sempre dentro desse intervalo.

Resposta

  • Domínio: Todos os pares onde .
  • Imagem: .

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Encontre o domínio e a imagem das funções.
Se , encontre
Seja .
Determine o domínio de .
Se , encontre