Mostre que a função é derivável apenas em .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por , onde é a função característica dos números racionais. Ou seja, se é racional e se é irracional. O problema quer que mostremos que essa função só é derivável em . Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivada e analisar o comportamento da função nos pontos considerados.

Passo 2

Vamos lembrar que a derivada de uma função em um ponto existe se o limite da diferença quociente existir. Ou seja, para ser derivável em , precisamos que:
Vamos aplicar isso para nossa função em um ponto qualquer .

Passo 3

Primeiro, vamos calcular . Sabemos que:
Então,

Passo 4

Agora, vamos dividir por :
Para o limite existir, esse quociente precisa se aproximar de um valor único quando tende a zero, independentemente de como se aproxima (se é racional ou irracional).

Passo 5

Vamos analisar dois casos: quando é racional e quando é irracional.
  1. Caso racional: , então:
Se é racional, , caso contrário, .
  1. Caso irracional: , então:

Passo 6

Para que a derivada exista, os limites nos dois casos acima devem ser iguais. Vamos ver para :
  • Se , então .
  • Para racional: , então:
  • Para irracional: , então:
Ambos os casos levam a , então a derivada em existe e é igual a .

Passo 7

Agora, vamos ver para :
  • Se é racional:
    • Quando é racional:
    • Quando é irracional: depende do sinal de , não converge a
  • Se é irracional:
    • Quando é racional: não existe
    • Quando é irracional:
Em ambos os casos, os limites são diferentes ou não existem, então a derivada não existe para .

Resposta

A função é derivável apenas em .

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