Mostre que a função
é derivável apenas em
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por
, onde
é a função característica dos números racionais. Ou seja,
se
é racional e
se
é irracional. O problema quer que mostremos que essa função só é derivável em
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivada e analisar o comportamento da função nos pontos considerados.
Passo 2
Vamos lembrar que a derivada de uma função em um ponto existe se o limite da diferença quociente existir. Ou seja, para
ser derivável em
, precisamos que:
Vamos aplicar isso para nossa função
em um ponto qualquer
.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular
. Sabemos que:
Então,
Passo 4
Agora, vamos dividir por
:
Para o limite existir, esse quociente precisa se aproximar de um valor único quando
tende a zero, independentemente de como
se aproxima (se
é racional ou irracional).
Passo 5
Vamos analisar dois casos: quando
é racional e quando é irracional.
- Caso
racional: , então:
Se
é racional,
, caso contrário,
.
- Caso
irracional: , então:
Passo 6
Para que a derivada exista, os limites nos dois casos acima devem ser iguais. Vamos ver para
:
- Se
, então . - Para
racional: , então:
- Para
irracional: , então:
Ambos os casos levam a
, então a derivada em
existe e é igual a
.
Passo 7
Agora, vamos ver para
:
-
Se
é racional: - Quando
é racional: - Quando
é irracional: depende do sinal de , não converge a
- Quando
-
Se
é irracional: - Quando
é racional: não existe - Quando
é irracional:
- Quando
Em ambos os casos, os limites são diferentes ou não existem, então a derivada não existe para
.
Resposta
A função
é derivável apenas em
.
Exercícios relacionados
Sejam
uma função derivável até
ordem
dada por
. Calcule
. Supondo
, calcule
.
Encontre o dominio e a imagem das funçōes
Nos Exercícios 9-12, encontre uma equação para o plano tangente à superfície determinada no ponto dado.