Suponha que |x - 2| < 1/2 e |y + 1| < 1/5.
Determine números a e b de modo que o intervalo I seja formado pelos valores z em R tais que |z - a| < b.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem duas desigualdades envolvendo e :
Nosso objetivo é encontrar números e para que o intervalo seja formado por todos os valores reais que satisfaçam:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de intervalos e a ideia de somar as desigualdades.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada desigualdade significa. A expressão quer dizer que está a menos de de 2. Então, podemos reescrever isso como um intervalo:
Isso nos mostra que varia entre e .

Passo 3

Agora, vamos fazer o mesmo para a segunda desigualdade: . Isso significa que está a menos de de -1. Reescrevendo como intervalo:
Então, varia entre e .

Passo 4

Agora, vamos considerar como a soma de e , ou seja, . Para encontrar o intervalo de , vamos somar os menores valores de e para achar o limite inferior, e os maiores valores para o limite superior.
Limite inferior de :
Limite superior de :
Então, está entre e .

Passo 5

Agora, precisamos expressar esse intervalo de na forma . Para isso, identificamos o ponto central e o raio :

Resposta

Os números são e , de modo que:

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