Suponha que |x - 2| < 1/2 e |y + 1| < 1/5.
Determine números a e b de modo que o intervalo I seja formado pelos valores z em R tais que |z - a| < b.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem duas desigualdades envolvendo e :
Nosso objetivo é encontrar números e para que o intervalo seja formado por todos os valores reais que satisfaçam:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de intervalos e a ideia de somar as desigualdades.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada desigualdade significa. A expressão quer dizer que está a menos de de 2. Então, podemos reescrever isso como um intervalo:
Isso nos mostra que varia entre e .

Passo 3

Agora, vamos fazer o mesmo para a segunda desigualdade: . Isso significa que está a menos de de -1. Reescrevendo como intervalo:
Então, varia entre e .

Passo 4

Agora, vamos considerar como a soma de e , ou seja, . Para encontrar o intervalo de , vamos somar os menores valores de e para achar o limite inferior, e os maiores valores para o limite superior.
Limite inferior de :
Limite superior de :
Então, está entre e .

Passo 5

Agora, precisamos expressar esse intervalo de na forma . Para isso, identificamos o ponto central e o raio :

Resposta

Os números são e , de modo que:

Exercícios relacionados

Calcule os limites se existirem. Caso contrário justifique sua resposta.
lim x -infty x^2-3 x+1x^3-x^2+x-1
Estude o sinal das seguintes expressões, indicando num esboço os valores de x em R onde elas são positivas, negativas, zero ou não definidas.
\lim_{x \to 0} \frac{\sen(x)}{x} = 1 (x + 1)(2 - 3x) / (x(x + 2))
Calcule os limites se existirem. Caso contrário justifique sua resposta. Consideramos a e b constantes reais näo nulas.
lim x 0 sen(x)+xx
Encontre o dominio (o maior possivel), a imagem, o conjunto de zeros, faça o estudo do sinal e esboce o gráfico:
f(x) = { 2x, x <= -1; 1 - x, x > 1 }