Encontre o domínio máximo de definição e esboce o gráfico das seguintes funções, utilizando o gráfico de uma função mais simples e aplicando as transformações apropriadas. Para cada uma dessas funções indique as intersecções com os eixos e , as regiões nas quais as funções são positivas, negativas, crescentes e decrescentes.
.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos fazer várias coisas:
  1. Domínio de definição: A gente vai descobrir para quais valores de a função está definida.
  2. Esboço do gráfico: Vamos desenhar o gráfico da função usando transformações de uma função mais simples.
  3. Interseções com os eixos: Encontrar onde a função corta os eixos e .
  4. Regiões positivas e negativas: Ver onde a função é positiva (acima do eixo ) e onde é negativa (abaixo do eixo ).
  5. Crescimento e decrescimento: Identificar onde a função está aumentando ou diminuindo.
Para tudo isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra e noções básicas de cálculo, como derivadas para analisar o crescimento da função.

Passo 2

Dominio de Definição
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. No caso de funções racionais, como a nossa, a única restrição vem dos valores de que tornam o denominador zero, porque não podemos dividir por zero.
Então, vamos resolver a equação do denominador igual a zero:
Resolvendo:
Portanto, a função não está definida para e . Assim, o domínio de definição é todos os números reais menos esses dois valores.

Passo 3

Interseções com os Eixos
Interseção com o eixo :
Para encontrar onde a função corta o eixo , colocamos :
Então, a interseção com o eixo é no ponto .
Interseções com o eixo :
Para encontrar onde a função corta o eixo , colocamos :
Isso acontece quando o numerador é zero e o denominador não é zero:
Verificamos que não torna o denominador zero, então a interseção com o eixo é no ponto .

Passo 4

Regiões Positivas e Negativas da Função
Para saber onde a função é positiva ou negativa, vamos analisar o sinal do numerador e do denominador em diferentes intervalos de .
A função . Vamos analisar os sinais de e :
  1. Intervalo :
    • (porque é sempre positivo e )
    • Sinal da função: (negativa)
  2. Intervalo :
    • Sinal da função: (positiva)
  3. Intervalo :
    • Sinal da função: (negativa)
  4. Intervalo :
    • Sinal da função: (positiva)
Então, resumindo:
  • Positiva em e
  • Negativa em e

Passo 5

Crescimento e Decrescimento da Função
Para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo, vamos usar a derivada.
Primeiro, encontramos a derivada de :
Usando a regra do quociente:
Agora, analisamos o sinal de :
O denominador é sempre positivo, então o sinal da derivada depende do numerador .
Resolvendo a inequação :
Resolvendo a equação quadrática :
Os valores críticos são e .
Testando os intervalos:
  1. Entre e : A derivada é negativa.
  2. Fora desse intervalo: A derivada é positiva.
Portanto:
  • A função está decrescendo em e
  • A função está crescendo em

Passo 6

Esboço do Gráfico da Função
Vamos usar todas as informações que coletamos para esboçar o gráfico.
  1. Assíntotas Verticais: São os valores de que não estão no domínio. Aqui, e .
  2. Interseções:
    • Com o eixo :
    • Com o eixo :
  3. Sinais:
    • Positiva em e
    • Negativa em e
  4. Crescimento/Decrescimento:
    • Decrescendo em e
    • Crescendo em
Passos para desenhar:
  • Passo 1: Desenhe as assíntotas verticais em e .
  • Passo 2: Marque os pontos de interseção com os eixos.
  • Passo 3: Identifique os intervalos onde a função é positiva ou negativa e desenhe o gráfico de acordo.
  • Passo 4: Use as informações de crescimento e decrescimento para curvar o gráfico nas regiões apropriadas.
O gráfico terá duas partes principais separadas pelas assíntotas verticais:
  • Para : A função é negativa em e positiva em , com decrescimento antes de e depois de .
  • Para : A função é positiva e decrescente.

Resposta

O domínio de definição da função é todos os números reais exceto e . A interseção com o eixo é em e com o eixo em . A função é positiva nos intervalos e , e negativa em e . Além disso, a função está decrescendo em e , e crescendo em . O esboço do gráfico deve incluir essas características, com assíntotas verticais em e , e refletir o comportamento de sinais e monotonicidade nos intervalos identificados.

Exercícios relacionados

Para cada par de funções e abaixo, determine os domí-
nios máximo de definição de , .
e
Para cada par de funções e abaixo, determine os domí-
nios máximo de definição de , .
e
Esboce o gráfico das seguintes funções, indicando em quais intervalos as funções são crescentes e decrescentes, explicitando o eixo de simetria e encontrando as coordenadas dos pontos de máximo e/ou mínimo.
Para cada par de funções e abaixo, determine os domí-
nios máximo de definição de , .
e