Encontre o domínio máximo de definição e esboce o gráfico das seguintes funções, utilizando o gráfico de uma função mais simples e aplicando as transformações apropriadas. Para cada uma dessas funções indique as intersecções com os eixos
e
, as regiões nas quais as funções são positivas, negativas, crescentes e decrescentes.
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos fazer várias coisas:
- Domínio de definição: A gente vai descobrir para quais valores de
a função está definida. - Esboço do gráfico: Vamos desenhar o gráfico da função usando transformações de uma função mais simples.
- Interseções com os eixos: Encontrar onde a função corta os eixos
e . - Regiões positivas e negativas: Ver onde a função é positiva (acima do eixo
) e onde é negativa (abaixo do eixo ). - Crescimento e decrescimento: Identificar onde a função está aumentando ou diminuindo.
Para tudo isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra e noções básicas de cálculo, como derivadas para analisar o crescimento da função.
Passo 2
Dominio de Definição
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. No caso de funções racionais, como a nossa, a única restrição vem dos valores de
que tornam o denominador zero, porque não podemos dividir por zero.
Então, vamos resolver a equação do denominador igual a zero:
Resolvendo:
Portanto, a função não está definida para
e
. Assim, o domínio de definição é todos os números reais menos esses dois valores.
Passo 3
Interseções com os Eixos
Interseção com o eixo
:
Para encontrar onde a função corta o eixo
, colocamos
:
Então, a interseção com o eixo
é no ponto
.
Interseções com o eixo
:
Para encontrar onde a função corta o eixo
, colocamos
:
Isso acontece quando o numerador é zero e o denominador não é zero:
Verificamos que
não torna o denominador zero, então a interseção com o eixo
é no ponto
.
Passo 4
Regiões Positivas e Negativas da Função
Para saber onde a função é positiva ou negativa, vamos analisar o sinal do numerador e do denominador em diferentes intervalos de
.
A função
. Vamos analisar os sinais de
e
:
-
Intervalo
: -
-
(porque é sempre positivo e ) - Sinal da função:
(negativa)
-
-
Intervalo
: -
-
- Sinal da função:
(positiva)
-
-
Intervalo
: -
-
- Sinal da função:
(negativa)
-
-
Intervalo
: -
-
- Sinal da função:
(positiva)
-
Então, resumindo:
- Positiva em
e - Negativa em
e
Passo 5
Crescimento e Decrescimento da Função
Para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo, vamos usar a derivada.
Primeiro, encontramos a derivada de
:
Usando a regra do quociente:
Agora, analisamos o sinal de
:
O denominador
é sempre positivo, então o sinal da derivada depende do numerador
.
Resolvendo a inequação
:
Resolvendo a equação quadrática
:
Os valores críticos são
e
.
Testando os intervalos:
- Entre
e : A derivada é negativa. - Fora desse intervalo: A derivada é positiva.
Portanto:
- A função está decrescendo em
e - A função está crescendo em
Passo 6
Esboço do Gráfico da Função
Vamos usar todas as informações que coletamos para esboçar o gráfico.
-
Assíntotas Verticais: São os valores de
que não estão no domínio. Aqui, e . -
Interseções:
- Com o eixo
: - Com o eixo
:
- Com o eixo
-
Sinais:
- Positiva em
e - Negativa em
e
- Positiva em
-
Crescimento/Decrescimento:
- Decrescendo em
e - Crescendo em
- Decrescendo em
Passos para desenhar:
- Passo 1: Desenhe as assíntotas verticais em
e . - Passo 2: Marque os pontos de interseção com os eixos.
- Passo 3: Identifique os intervalos onde a função é positiva ou negativa e desenhe o gráfico de acordo.
- Passo 4: Use as informações de crescimento e decrescimento para curvar o gráfico nas regiões apropriadas.
O gráfico terá duas partes principais separadas pelas assíntotas verticais:
-
Para
: A função é negativa em e positiva em , com decrescimento antes de e depois de . -
Para
: A função é positiva e decrescente.
Resposta
O domínio de definição da função é todos os números reais exceto
e
. A interseção com o eixo
é em
e com o eixo
em
. A função é positiva nos intervalos
e
, e negativa em
e
. Além disso, a função está decrescendo em
e
, e crescendo em
. O esboço do gráfico deve incluir essas características, com assíntotas verticais em
e
, e refletir o comportamento de sinais e monotonicidade nos intervalos identificados.
Exercícios relacionados
Para cada par de funções
e
abaixo, determine os domí-
nios máximo de definição de ,
.
e
nios máximo de definição de
Para cada par de funções
e
abaixo, determine os domí-
nios máximo de definição de ,
.
e
nios máximo de definição de
Esboce o gráfico das seguintes funções, indicando em quais intervalos as funções são crescentes e decrescentes, explicitando o eixo de simetria e encontrando as coordenadas dos pontos de máximo e/ou mínimo.
Para cada par de funções
e
abaixo, determine os domí-
nios máximo de definição de ,
.
e
nios máximo de definição de