Esboce o gráfico das seguintes funções, indicando em quais intervalos as funções são crescentes e decrescentes, explicitando o eixo de simetria e encontrando as coordenadas dos pontos de máximo e/ou mínimo.
f(x) = 7 + 6 x - x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função . Para isso, vamos identificar onde a função está crescendo ou decrescendo, encontrar o eixo de simetria e descobrir os pontos de máximo ou mínimo. Tudo isso usando conhecimentos de funções quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que a função dada é uma função quadrática, que tem a forma geral . No nosso caso, , e . Funções quadráticas são representadas por parábolas no gráfico.

Passo 3

Como o coeficiente de é negativo ( ), sabemos que a parábola abre para baixo. Isso significa que a função terá um ponto de máximo.

Passo 4

O eixo de simetria da parábola pode ser encontrado usando a fórmula . Substituindo os valores:
Então, o eixo de simetria é a reta .

Passo 5

Para encontrar o ponto de máximo, substituímos na função:
Portanto, o ponto de máximo é .

Passo 6

Agora, vamos determinar onde a função está crescendo e onde está decrescendo. Como a parábola abre para baixo:
  • Crescendo: para valores de menores que 3 ( )
  • Decrescendo: para valores de maiores que 3 ( )

Resposta

A função tem um ponto de máximo em , com o eixo de simetria sendo a reta . A função está crescendo no intervalo e decrescendo no intervalo . O gráfico é uma parábola que abre para baixo.

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