Estude graficamente funções inversas: como é o gráfico da inversa de uma função dada?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente estudar graficamente funções inversas, ou seja, descobrir como fica o gráfico da inversa de uma função que a gente já tem. Vamos usar conceitos de funções inversas e transformação gráfica pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, lembre-se do que é uma função inversa. Se você tem uma função
, a função inversa
“desfaz” o que
faz. Por exemplo, se
, então
vai retornar o valor original antes de ser multiplicado por 2 e somado 3.
Passo 3
Para encontrar graficamente a função inversa, o truque é refletir o gráfico da função original em relação à reta
. Essa reta é como um espelho que troca as coordenadas
e
.
Passo 4
Vamos entender melhor. Imagine que cada ponto
no gráfico de
vai se transformar em
no gráfico de
. Isso porque a função inversa troca os papéis de entrada e saída.
Passo 5
Então, para desenhar o gráfico da função inversa:
- Trace o gráfico da função original
. - Desenhe a reta
. - Para cada ponto no gráfico de
, encontre seu reflexo em relação à reta . - A união de todos esses pontos refletidos formará o gráfico de
.
Passo 6
Vamos colocar isso em prática com um exemplo simples. Suponha que
.
- O gráfico de
é uma linha reta com inclinação 2 e intercepto em 1. - A reta
é uma linha diagonal que passa pela origem com inclinação 1. - Um ponto no gráfico de
poderia ser . Seu reflexo seria . - Outro ponto, por exemplo
, refletiria para . - Conectando todos esses pontos refletidos, temos o gráfico de
.
Resposta
O gráfico da função inversa
é obtido refletindo o gráfico da função original
em relação à reta
. Cada ponto
no gráfico de
se transforma em
no gráfico de
, resultando assim na representação gráfica da inversa.
Exercícios relacionados
Encontre o domínio máximo possível em que cada função abaixo é invertível, ache a fórmula explícita da função inversa
e calcule a derivada
:
.
Encontre o domínio máximo possível em que cada função abaixo é invertível, ache a fórmula explícita da função inversa
e calcule a derivada
:
.
Esboce o gráfico da função
Verifique que
é uma função par e
e
são ímpares.