Estude graficamente funções inversas: como é o gráfico da inversa de uma função dada?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente estudar graficamente funções inversas, ou seja, descobrir como fica o gráfico da inversa de uma função que a gente já tem. Vamos usar conceitos de funções inversas e transformação gráfica pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, lembre-se do que é uma função inversa. Se você tem uma função , a função inversa “desfaz” o que faz. Por exemplo, se , então vai retornar o valor original antes de ser multiplicado por 2 e somado 3.

Passo 3

Para encontrar graficamente a função inversa, o truque é refletir o gráfico da função original em relação à reta . Essa reta é como um espelho que troca as coordenadas e .

Passo 4

Vamos entender melhor. Imagine que cada ponto no gráfico de vai se transformar em no gráfico de . Isso porque a função inversa troca os papéis de entrada e saída.

Passo 5

Então, para desenhar o gráfico da função inversa:
  1. Trace o gráfico da função original .
  2. Desenhe a reta .
  3. Para cada ponto no gráfico de , encontre seu reflexo em relação à reta .
  4. A união de todos esses pontos refletidos formará o gráfico de .

Passo 6

Vamos colocar isso em prática com um exemplo simples. Suponha que .
  1. O gráfico de é uma linha reta com inclinação 2 e intercepto em 1.
  2. A reta é uma linha diagonal que passa pela origem com inclinação 1.
  3. Um ponto no gráfico de poderia ser . Seu reflexo seria .
  4. Outro ponto, por exemplo , refletiria para .
  5. Conectando todos esses pontos refletidos, temos o gráfico de .

Resposta

O gráfico da função inversa é obtido refletindo o gráfico da função original em relação à reta . Cada ponto no gráfico de se transforma em no gráfico de , resultando assim na representação gráfica da inversa.

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Encontre o domínio máximo possível em que cada função abaixo é invertível, ache a fórmula explícita da função inversa e calcule a derivada : .
Encontre o domínio máximo possível em que cada função abaixo é invertível, ache a fórmula explícita da função inversa e calcule a derivada : .
Esboce o gráfico da função
Verifique que é uma função par e e são ímpares.