Esboce o gráfico da função
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Precisamos esboçar o gráfico da função
definida por:
Esse exercício envolve conceitos de funções trigonométricas e comportamento de funções próximas a pontos específicos, no caso,
. Para resolver isso, vamos considerar os diferentes comportamentos da função quando
se aproxima de 0 e quando
se afasta de 0.
Passo 2
Vamos analisar a função para valores de
diferentes de 0, ou seja,
. Aqui, temos
.
A função cosseno oscila entre -1 e 1 para qualquer argumento. Quando o argumento é
, conforme
se aproxima de 0,
cresce sem limite, fazendo com que
oscile cada vez mais rapidamente entre -1 e 1. Isso significa que perto de
, o gráfico da função oscila muito rapidamente, criando um padrão de “ondas” próximas a essa linha.
Passo 3
Agora, vamos considerar o ponto
. Segundo a definição da função,
. Isso significa que, exatamente em
, o valor da função é 0. No entanto, como vimos no passo anterior, conforme nos aproximamos de
a partir dos lados negativos e positivos, a função oscila entre -1 e 1 sem se estabilizar em nenhum valor específico.
Passo 4
Vamos resumir o comportamento da função:
- Para
: oscila rapidamente entre -1 e 1 conforme se aproxima de 0. - Em
: A função está definida como 0. - Para
afastando-se de 0: A oscilação diminui, e a função se comporta como a função cosseno padrão, mas com um período que diminui à medida que se afasta de 0.
Passo 5
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- Perto de
: Desenhe linhas oscilantes muito próximas a , alternando rapidamente entre -1 e 1. - Em
: Marque um ponto no (0, 0). - Para
longe de 0: O gráfico se assemelha a uma função cosseno comum, com a frequência das oscilações diminuindo conforme nos afastamos de 0.
Resposta
O gráfico da função
apresenta oscilações cada vez mais rápidas entre -1 e 1 à medida que
se aproxima de 0, com um ponto definido em (0, 0). Para valores de
afastados de 0, o gráfico se comporta como uma função cosseno padrão, com a amplitude e frequência das oscilações diminuindo.
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e calcule a derivada
:
.
Verifique que
é uma função par e
e
são ímpares.
Calcule
.