Esboce o gráfico da função

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Precisamos esboçar o gráfico da função definida por:
Esse exercício envolve conceitos de funções trigonométricas e comportamento de funções próximas a pontos específicos, no caso, . Para resolver isso, vamos considerar os diferentes comportamentos da função quando se aproxima de 0 e quando se afasta de 0.

Passo 2

Vamos analisar a função para valores de diferentes de 0, ou seja, . Aqui, temos .
A função cosseno oscila entre -1 e 1 para qualquer argumento. Quando o argumento é , conforme se aproxima de 0, cresce sem limite, fazendo com que oscile cada vez mais rapidamente entre -1 e 1. Isso significa que perto de , o gráfico da função oscila muito rapidamente, criando um padrão de “ondas” próximas a essa linha.

Passo 3

Agora, vamos considerar o ponto . Segundo a definição da função, . Isso significa que, exatamente em , o valor da função é 0. No entanto, como vimos no passo anterior, conforme nos aproximamos de a partir dos lados negativos e positivos, a função oscila entre -1 e 1 sem se estabilizar em nenhum valor específico.

Passo 4

Vamos resumir o comportamento da função:
  • Para : oscila rapidamente entre -1 e 1 conforme se aproxima de 0.
  • Em : A função está definida como 0.
  • Para afastando-se de 0: A oscilação diminui, e a função se comporta como a função cosseno padrão, mas com um período que diminui à medida que se afasta de 0.

Passo 5

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  1. Perto de : Desenhe linhas oscilantes muito próximas a , alternando rapidamente entre -1 e 1.
  2. Em : Marque um ponto no (0, 0).
  3. Para longe de 0: O gráfico se assemelha a uma função cosseno comum, com a frequência das oscilações diminuindo conforme nos afastamos de 0.

Resposta

O gráfico da função apresenta oscilações cada vez mais rápidas entre -1 e 1 à medida que se aproxima de 0, com um ponto definido em (0, 0). Para valores de afastados de 0, o gráfico se comporta como uma função cosseno padrão, com a amplitude e frequência das oscilações diminuindo.

Exercícios relacionados

Estude graficamente funções inversas: como é o gráfico da inversa de uma função dada?
Encontre o domínio máximo possível em que cada função abaixo é invertível, ache a fórmula explícita da função inversa e calcule a derivada : .
Verifique que é uma função par e e são ímpares.
Calcule .