Encontre todas as assíntotas verticais e horizontais da função dada e a partir disso esboce o seu gráfico (40 pontos):
c)
Dados:
c)
Dados:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar todas as assíntotas verticais e horizontais da função
e, a partir disso, esboçar o gráfico dela. Para isso, precisamos entender o que são assíntotas verticais e horizontais e como identificá-las em uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função, ou seja, os valores de
para os quais a função está definida. Como temos uma raiz quadrada no denominador, o que está dentro dela deve ser maior que zero para termos um número real.
Então, temos:
Resolvendo a inequação:
Portanto, o domínio da função é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as assíntotas verticais. Assíntotas verticais ocorrem onde a função não está definida e o limite da função tende ao infinito. No nosso caso, a função não está definida em
e
.
Vamos verificar os limites nessas pontas:
Para
:
Para
:
Portanto, temos duas assíntotas verticais:
Passo 4
Em seguida, vamos encontrar as assíntotas horizontais. As assíntotas horizontais são os limites da função quando
tende ao infinito positivo ou negativo.
Calculando o limite quando
tende a
:
Calculando o limite quando
tende a
:
Portanto, a função possui uma assíntota horizontal em:
Passo 5
Com as assíntotas encontradas, podemos esboçar o gráfico da função. Sabemos que:
- A função não está definida para
e . - Há assíntotas verticais nessas duas linhas.
- A função se aproxima da linha
quando tende a .
Além disso, observamos que:
- Para
, a função é positiva. - Para
, a função é negativa.
Resposta
As assíntotas verticais da função
são
e
. A assíntota horizontal é
. O gráfico da função possui essas assíntotas e se aproxima de
conforme
tende a
.
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a)
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b)
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Encontre o domínio e todas as assíntotas verticais e horizontais da função dada e a partir disso esboce o seu gráfico (30 pontos):
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