Encontre as duas raízes quadradas de i.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar as duas raízes quadradas de . Aqui, estamos trabalhando com números complexos, que envolvem a unidade imaginária (onde ). Para resolver isso, vamos precisar usar a forma algébrica dos números complexos e manipular algumas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a raiz quadrada de pode ser representada como um número complexo na forma , onde e são números reais que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos elevar essa expressão ao quadrado e igualar a :
Expandindo o lado esquerdo:
(Note que )

Passo 4

Igualando as partes reais e imaginárias dos dois lados da equação:
Parte real:
Parte imaginária:

Passo 5

Resolvendo a primeira equação , temos que , ou seja, ou .

Passo 6

Vamos considerar . Substituindo na segunda equação :
Então, .

Passo 7

Agora, considerando . Substituindo na segunda equação :
Essa solução resulta em um número imaginário para , o que não é válido no nosso contexto, já que e são reais. Portanto, descartamos essa possibilidade.

Passo 8

Assim, a única solução válida é . Mas como queremos todas as raízes quadradas, também consideramos o negativo dessa solução:

Resposta

As duas raízes quadradas de são:

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