Encontre as três raízes cúbicas de 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar as três raízes cúbicas de 1. Esse tipo de problema pertence à matéria de Números Complexos, especificamente sobre raízes da unidade. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre formas trigonométricas de números complexos e utilizar fórmulas básicas de exponenciação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que 1 pode ser representado no plano complexo como um número cuja parte real é 1 e a parte imaginária é 0, ou seja, . Na forma trigonométrica, isso é equivalente a , já que o ângulo é 0 radianos.

Passo 3

Para encontrar as raízes cúbicas de 1, usamos a fórmula geral para as -ésimas raízes da unidade:
onde é o módulo de 1 (que é 1), é o argumento (que é 0), é o índice da raiz (no caso, 3), e .

Passo 4

Vamos calcular cada uma das três raízes usando , e :
  1. Para :
  1. Para :
Sabendo que e , temos:
  1. Para :
Sabendo que e , temos:

Resposta

As três raízes cúbicas de 1 são:

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