Encontre as três raízes cúbicas de 1.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar as três raízes cúbicas de 1. Esse tipo de problema pertence à matéria de Números Complexos, especificamente sobre raízes da unidade. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre formas trigonométricas de números complexos e utilizar fórmulas básicas de exponenciação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que 1 pode ser representado no plano complexo como um número cuja parte real é 1 e a parte imaginária é 0, ou seja,
. Na forma trigonométrica, isso é equivalente a
, já que o ângulo é 0 radianos.
Passo 3
Para encontrar as raízes cúbicas de 1, usamos a fórmula geral para as
-ésimas raízes da unidade:
onde
é o módulo de 1 (que é 1),
é o argumento (que é 0),
é o índice da raiz (no caso, 3), e
.
Passo 4
Vamos calcular cada uma das três raízes usando
,
e
:
- Para
:
- Para
:
Sabendo que
e
, temos:
- Para
:
Sabendo que
e
, temos:
Resposta
As três raízes cúbicas de 1 são:
Exercícios relacionados
Utilize o teorema de De Moivre para expressar as funções trigonométricas nos Exercícios 15 e 16 em termos de
e sen
.
a.
b.
a.
b.
Nos Exercícios 5-10, represente graficamente os pontos
que satisfazem as condições determinadas.
a.
b.
c.
a.
b.
c.
Encontre as duas raízes quadradas de
.
Encontre as seis raízes sextas de 64.