Utilize o teorema de De Moivre para expressar as funções trigonométricas nos Exercícios 15 e 16 em termos de cos(theta) e sen theta.
a. cos(4 theta)
b. sen(4 theta)

Passo 1

Nesse exercício, vamos usar o Teorema de De Moivre para expressar as funções trigonométricas e em termos de e . Para isso, precisamos entender o teorema e como aplicá-lo na expansão dessas funções.

Passo 2

O Teorema de De Moivre afirma que , onde é um número inteiro. Vamos aplicar esse teorema com n para encontrar e .

Passo 3

Primeiro, aplicamos o teorema com :

Passo 4

Agora, vamos expandir o lado esquerdo da equação usando a fórmula do binômio de Newton:

Passo 5

Calculando cada termo da expansão:
  • Para k = 0:
  • Para :
  • Para k=1:
  • Para :
  • Para k = 2:

Passo 6

Somando todos os termos, temos:

Passo 7

Comparando com o lado direito do Teorema de De Moivre:

Passo 8

Isso nos dá duas equações separadas:
  • Parte real:
  • Parte imaginária:

Passo 9

Vamos simplificar utilizando identidades trigonométricas. Sabemos que . Substituindo:

Passo 10

Expandindo e simplificando:

Passo 11

Portanto, a expressão final para em termos de cos(theta) é:

Passo 12

Agora, para a função , temos:

Passo 13

Podemos fatorar a expressão:

Passo 14

Sabemos que , então substituindo:

Passo 15

Alternativamente, usando a identidade , temos:

Resposta

a.
b.

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