Utilize o teorema de De Moivre para expressar as funções trigonométricas nos Exercícios 15 e 16 em termos de
e sen
.
a.
b.
a.
b.
Passo 1
Nesse exercício, vamos usar o Teorema de De Moivre para expressar as funções trigonométricas
e em termos de
e . Para isso, precisamos entender o teorema e como aplicá-lo na expansão dessas funções.
Passo 2
O Teorema de De Moivre afirma que , onde
é um número inteiro. Vamos aplicar esse teorema com
para encontrar
e .
Passo 3
Primeiro, aplicamos o teorema com
:
Passo 4
Agora, vamos expandir o lado esquerdo da equação usando a fórmula do binômio de Newton:
Passo 5
Calculando cada termo da expansão:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Passo 6
Somando todos os termos, temos:
Passo 7
Comparando com o lado direito do Teorema de De Moivre:
Passo 8
Isso nos dá duas equações separadas:
-
Parte real:
-
Parte imaginária:
Passo 9
Vamos simplificar
utilizando identidades trigonométricas. Sabemos que . Substituindo:
Passo 10
Expandindo e simplificando:
Passo 11
Portanto, a expressão final para
em termos de
é:
Passo 12
Agora, para a função , temos:
Passo 13
Podemos fatorar a expressão:
Passo 14
Sabemos que , então substituindo:
Passo 15
Alternativamente, usando a identidade , temos:
Resposta
a.
b.
Exercícios relacionados
Nos Exercícios 5-10, represente graficamente os pontos
que satisfazem as condições determinadas.
a.
b.
c.
a.
b.
c.
Mostre que a distância entre os dois pontos
em um diagrama de Argand é
.
Encontre as três raízes cúbicas de 1.
Encontre as duas raízes quadradas de
.