Utilize o teorema de De Moivre para expressar as funções trigonométricas nos Exercícios 15 e 16 em termos de e sen .
a.
b.

Passo 1

Nesse exercício, vamos usar o Teorema de De Moivre para expressar as funções trigonométricas e em termos de e . Para isso, precisamos entender o teorema e como aplicá-lo na expansão dessas funções.

Passo 2

O Teorema de De Moivre afirma que , onde é um número inteiro. Vamos aplicar esse teorema com para encontrar e .

Passo 3

Primeiro, aplicamos o teorema com :

Passo 4

Agora, vamos expandir o lado esquerdo da equação usando a fórmula do binômio de Newton:

Passo 5

Calculando cada termo da expansão:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Somando todos os termos, temos:

Passo 7

Comparando com o lado direito do Teorema de De Moivre:

Passo 8

Isso nos dá duas equações separadas:
  • Parte real:
  • Parte imaginária:

Passo 9

Vamos simplificar utilizando identidades trigonométricas. Sabemos que . Substituindo:

Passo 10

Expandindo e simplificando:

Passo 11

Portanto, a expressão final para em termos de é:

Passo 12

Agora, para a função , temos:

Passo 13

Podemos fatorar a expressão:

Passo 14

Sabemos que , então substituindo:

Passo 15

Alternativamente, usando a identidade , temos:

Resposta

a.
b.

Exercícios relacionados

Nos Exercícios 5-10, represente graficamente os pontos que satisfazem as condições determinadas.
a.
b.
c.
Mostre que a distância entre os dois pontos em um diagrama de Argand é .
Encontre as três raízes cúbicas de 1.
Encontre as duas raízes quadradas de .