Encontre as seis soluções da equação
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação
. Esse tipo de problema está relacionado ao teorema fundamental da álgebra, que nos diz que uma equação polinomial de grau
tem exatamente
soluções no conjunto dos números complexos. Para resolver, vamos usar uma substituição algébrica para simplificar a equação e, em seguida, encontrar as raízes complexas.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar a resolução. Vamos definir
. Isso transforma nossa equação original em:
Passo 3
Agora, temos uma equação quadrática em
. Para resolver
, usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
. Substituindo os valores:
Portanto, as soluções para
são
e
.
Passo 4
Lembrando que
, agora precisamos encontrar os valores de
que satisfazem
e
. Para isso, vamos converter esses números complexos para a forma polar e usar a fórmula de raízes de números complexos.
Primeiro, vamos considerar
:
- Módulo de
:
- Argumento de
(ângulo):
Agora, aplicamos a fórmula das raízes cúbicas:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Repetimos o mesmo processo para
:
- Módulo de
:
- Argumento de
:
Aplicando a fórmula das raízes cúbicas:
Resposta
As seis soluções da equação
são:
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.
Encontre todas as soluções da equação
.
Resolva a equação
.