Encontre duas soluções em série, e , para a equação em torno de . Encontre os primeiros quatro termos de cada uma das soluções. Calcule o wronskiano . Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar duas soluções em série, e , para a equação diferencial em torno de . Para isso, vamos usar séries de potências para resolver a equação, encontrando os primeiros quatro termos de cada solução. Depois, vamos calcular o wronskiano e, se der certo, vamos tentar achar o termo geral de cada série.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução pode ser escrita como uma série de potências em torno de . Ou seja, vamos supor que:
Aqui, são os coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Vamos encontrar as derivadas de :

Passo 4

Substituímos e na equação diferencial :

Passo 5

Vamos ajustar os índices das somas para que todas estejam em termos de . Para o termo de :
E para o termo :

Passo 6

Agora, combinamos tudo na equação:
Para que essa equação valha para todo , os coeficientes de cada devem ser iguais a zero.

Passo 7

Igualando os coeficientes de a zero, obtemos a relação de recorrência:
Isolando :

Passo 8

Vamos começar a calcular os coeficientes. Precisamos de duas soluções, então vamos considerar dois casos para os coeficientes iniciais.
Primeira solução ( ):
Assumimos e .
Aplicando a relação de recorrência:
Então, os primeiros quatro termos de são:
Segunda solução ( ):
Assumimos e .
Aplicando a relação de recorrência:
Então, os primeiros quatro termos de são:

Passo 9

Agora, vamos calcular o wronskiano . O wronskiano é dado por:
Primeiro, calculamos as derivadas:
Agora, avaliando no :
Então:

Passo 10

Por fim, vamos tentar encontrar o termo geral para cada solução.
Observando :
Isso é semelhante à expansão da função exponencial .
Para , notamos que os coeficientes seguem um padrão com potências ímpares.
Assim, podemos expressar as soluções gerais como:

Resposta

As duas soluções em série para a equação diferencial são:
O wronskiano no ponto é:
Os termos gerais das soluções são:

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5
Use o primeiro limite fundamental para calcular os limites abaixo.
(a)
Use o primeiro limite fundamental para calcular os limites abaixo.
(f)
Encontre duas soluções em série, e , para a equação em torno de . Encontre os primeiros quatro termos de cada uma das soluções. Calcule o wronskiano . Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
(b)