Encontre duas soluções em série,
e
, para a equação em torno de
. Encontre os primeiros quatro termos de cada uma das soluções. Calcule o wronskiano
. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar duas soluções em série,
e
, para a equação diferencial
em torno de
. Para isso, vamos usar séries de potências para resolver a equação, encontrando os primeiros quatro termos de cada solução. Depois, vamos calcular o wronskiano
e, se der certo, vamos tentar achar o termo geral de cada série.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução pode ser escrita como uma série de potências em torno de
. Ou seja, vamos supor que:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Vamos encontrar as derivadas de
:
Passo 4
Substituímos
e
na equação diferencial
:
Passo 5
Vamos ajustar os índices das somas para que todas estejam em termos de
. Para o termo de
:
E para o termo
:
Passo 6
Agora, combinamos tudo na equação:
Para que essa equação valha para todo
, os coeficientes de cada
devem ser iguais a zero.
Passo 7
Igualando os coeficientes de
a zero, obtemos a relação de recorrência:
Isolando
:
Passo 8
Vamos começar a calcular os coeficientes. Precisamos de duas soluções, então vamos considerar dois casos para os coeficientes iniciais.
Primeira solução (
):
Assumimos e
.
Assumimos
Aplicando a relação de recorrência:
Então, os primeiros quatro termos de
são:
Segunda solução (
):
Assumimos e
.
Assumimos
Aplicando a relação de recorrência:
Então, os primeiros quatro termos de
são:
Passo 9
Agora, vamos calcular o wronskiano
. O wronskiano é dado por:
Primeiro, calculamos as derivadas:
Agora, avaliando no
:
Então:
Passo 10
Por fim, vamos tentar encontrar o termo geral para cada solução.
Observando
:
Isso é semelhante à expansão da função exponencial
.
Para
, notamos que os coeficientes seguem um padrão com potências ímpares.
Assim, podemos expressar as soluções gerais como:
Resposta
As duas soluções em série para a equação diferencial são:
O wronskiano no ponto
é:
Os termos gerais das soluções são:
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5
Use o primeiro limite fundamental para calcular os limites abaixo.
(a)
Use o primeiro limite fundamental
(a)
Use o primeiro limite fundamental
para calcular os limites abaixo.
(f)
(f)
Encontre duas soluções em série,
e
, para a equação em torno de
. Encontre os primeiros quatro termos de cada uma das soluções. Calcule o wronskiano
. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
(b)
(b)