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Use o primeiro limite fundamental lim x 0 sen xx=1 para calcular os limites abaixo.
(a) lim theta 0 sen raiz2 thetatheta

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite lim theta 0 sen (raiz2 theta)theta usando o limite fundamental lim x 0 sen xx=1. Isso está dentro do conteúdo de limites em cálculo, e vamos precisar manipular a expressão para aplicar esse limite básico.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar. Vamos chamar x = raiz2 theta. Assim, quando theta se aproxima de 0, x também se aproxima de 0.

Passo 3

Reescrevendo o limite com essa substituição, temos:
lim theta 0 sen (raiz2 theta)theta = lim x 0 sen xx/raiz2 = lim x 0 raiz2 cdot sen xx
Aqui, tiramos o raiz2 de fora porque é uma constante.

Passo 4

Sabemos pelo limite fundamental que lim x 0 sen xx = 1. Então:
raiz2 cdot lim x 0 sen xx = raiz2 cdot 1 = raiz2

Resposta

raiz2

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