Encontre duas soluções em série, e , para a equação em torno de . Encontre os primeiros quatro termos de cada uma das soluções. Calcule o wronskiano . Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
(b)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
Queremos encontrar duas soluções em série, e , expandidas em torno de . Além disso, precisamos determinar os primeiros quatro termos de cada solução, calcular o wronskiano e, se possível, encontrar o termo geral de cada série.
Para resolver isso, vamos usar o método de séries de potências, que nos permite encontrar soluções para equações diferenciais quando elas podem ser expressas como uma série infinita de potências de .

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que as soluções podem ser expressas como séries de potências em torno de :
Isso significa que tanto quanto terão essa forma geral, mas com coeficientes diferentes.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de para substituir na equação diferencial:
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 4

Substituindo e na equação diferencial :
Vamos reorganizar o termo que multiplica :

Passo 5

Para combinar as somas, vamos ajustar os índices de operação. No primeiro somatório, deixe :
Agora, renomeamos de volta para :

Passo 6

Observamos que a segunda soma está em termos de . Para alinhá-la com a primeira soma, substituímos por :
Agora, podemos escrever ambos os somatórios com começando de 0:
Onde é 1 se e 0 caso contrário.

Passo 7

Para que a igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero:
Para :
Para :

Passo 8

Vamos encontrar os primeiros quatro termos de cada solução. Começamos assumindo e como constantes arbitrárias.
Para :
Assumimos e .
  • (já vimos)
Então, os primeiros quatro termos são:
Para :
Assumimos e .
Então, os primeiros quatro termos são:

Passo 9

Agora, vamos calcular o wronskiano . O wronskiano é definido por:
Primeiro, calculamos as derivadas:
Para :
Para :
Avaliado em :
Então:

Passo 10

Por fim, se possível, vamos encontrar o termo geral para cada série.
Para :
Observando os coeficientes não nulos, percebemos que tem termos para . A relação de recorrência é:
Então, o termo geral pode ser expresso como:
Assim, a solução é:
Para :
Similarmente, tem termos para . A relação de recorrência é:
O termo geral é:
Portanto, a solução é:

Resposta

As duas soluções em série para a equação em torno de são:
O wronskiano avaliado em é:
Além disso, os termos gerais das soluções são:

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Use o primeiro limite fundamental para calcular os limites abaixo.
(f)
Encontre duas soluções em série, e , para a equação em torno de . Encontre os primeiros quatro termos de cada uma das soluções. Calcule o wronskiano . Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
(a)
Use os limites fundamentais , com , e para calcular os limites abaixo.
©
Encontre duas soluções em série, e , para a equação em torno de . Encontre os primeiros quatro termos de cada uma das soluções. Calcule o wronskiano . Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
(d)