Encontre duas soluções em série,
e
, para a equação em torno de
. Encontre os primeiros quatro termos de cada uma das soluções. Calcule o wronskiano
. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
Queremos encontrar duas soluções em série,
e
, expandidas em torno de
. Além disso, precisamos determinar os primeiros quatro termos de cada solução, calcular o wronskiano
e, se possível, encontrar o termo geral de cada série.
Para resolver isso, vamos usar o método de séries de potências, que nos permite encontrar soluções para equações diferenciais quando elas podem ser expressas como uma série infinita de potências de
.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que as soluções
podem ser expressas como séries de potências em torno de
:
Isso significa que tanto
quanto
terão essa forma geral, mas com coeficientes
diferentes.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
para substituir na equação diferencial:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 4
Substituindo
e
na equação diferencial
:
Vamos reorganizar o termo que multiplica
:
Passo 5
Para combinar as somas, vamos ajustar os índices de operação. No primeiro somatório, deixe
:
Agora, renomeamos
de volta para
:
Passo 6
Observamos que a segunda soma está em termos de
. Para alinhá-la com a primeira soma, substituímos
por
:
Agora, podemos escrever ambos os somatórios com
começando de 0:
Onde
é 1 se
e 0 caso contrário.
Passo 7
Para que a igualdade seja verdadeira para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero:
Para
:
Para
:
Passo 8
Vamos encontrar os primeiros quatro termos de cada solução. Começamos assumindo
e
como constantes arbitrárias.
Para
:
Assumimos
e
.
-
(já vimos) -
-
Então, os primeiros quatro termos são:
Para
:
Assumimos
e
.
Então, os primeiros quatro termos são:
Passo 9
Agora, vamos calcular o wronskiano
. O wronskiano é definido por:
Primeiro, calculamos as derivadas:
Para
:
Para
:
Avaliado em
:
Então:
Passo 10
Por fim, se possível, vamos encontrar o termo geral para cada série.
Para
:
Observando os coeficientes não nulos, percebemos que
tem termos para
. A relação de recorrência é:
Então, o termo geral pode ser expresso como:
Assim, a solução
é:
Para
:
Similarmente,
tem termos para
. A relação de recorrência é:
O termo geral é:
Portanto, a solução
é:
Resposta
As duas soluções em série para a equação
em torno de
são:
O wronskiano avaliado em
é:
Além disso, os termos gerais das soluções são:
Exercícios relacionados
Use o primeiro limite fundamental
para calcular os limites abaixo.
(f)
(f)
Encontre duas soluções em série,
e
, para a equação em torno de
. Encontre os primeiros quatro termos de cada uma das soluções. Calcule o wronskiano
. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
(a)
(a)
Use os limites fundamentais
, com
, e
para calcular os limites abaixo.
©
©
Encontre duas soluções em série,
e
, para a equação em torno de
. Encontre os primeiros quatro termos de cada uma das soluções. Calcule o wronskiano
. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
(d)
(d)