As seguintes equações diferenciais são lineares comcoeficientes constantes, ou seja, podem ser resolvidas diretamente. Encontre duas soluções em séries de potências com centro em
e compare com as soluções obtidas diretamente.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial
encontrando duas soluções em séries de potências centradas em
. Além disso, precisamos comparar essas soluções com as que encontramos resolvendo a equação de forma direta. Para isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e como encontrar soluções em séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial de forma direta. Nossa equação é
. Essa é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos que a solução tem a forma
, onde
é uma constante que vamos determinar.
Passo 3
Substituindo
na equação, temos:
Substituindo na equação original:
Fatorando
(que nunca é zero):
Passo 4
Resolvendo a equação característica
, temos:
Então, as raízes são
e
.
Passo 5
Com as raízes encontradas, as soluções da equação diferencial são:
Passo 6
Agora, vamos encontrar soluções em séries de potências centradas em
. Assumimos que a solução tem a forma de uma série:
Calculamos as derivadas necessárias:
Passo 7
Substituímos
,
e
na equação diferencial:
Para facilitar, alinhamos os índices de soma substituindo
na primeira soma:
Passo 8
Juntamos as somas:
Para que essa igualdade valha para todo
, cada coeficiente de
deve ser zero:
Passo 9
Podemos simplificar essa relação:
Essa é uma relação de recorrência que nos permite encontrar os coeficientes da série a partir de
e
, que são constantes arbitrárias.
Passo 10
Vamos determinar alguns coeficientes:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
E assim por diante.
Passo 11
Observando os coeficientes, vemos que a série depende de
e
. Assim, temos duas soluções independentes:
- Solução com
: - Solução com
: Essa série pode ser reconhecida como a expansão de .
Resposta
As soluções da equação diferencial
são:
Essas soluções coincidem com as obtidas usando séries de potências centradas em
.