As seguintes equações diferenciais são lineares comcoeficientes constantes, ou seja, podem ser resolvidas diretamente. Encontre duas soluções em séries de potências com centro em x = 0 e compare com as soluções obtidas diretamente.
d) y'' + 2y' = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial encontrando duas soluções em séries de potências centradas em . Além disso, precisamos comparar essas soluções com as que encontramos resolvendo a equação de forma direta. Para isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e como encontrar soluções em séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial de forma direta. Nossa equação é . Essa é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos que a solução tem a forma , onde é uma constante que vamos determinar.

Passo 3

Substituindo na equação, temos:
Substituindo na equação original:
Fatorando (que nunca é zero):

Passo 4

Resolvendo a equação característica , temos:
Então, as raízes são e .

Passo 5

Com as raízes encontradas, as soluções da equação diferencial são:

Passo 6

Agora, vamos encontrar soluções em séries de potências centradas em . Assumimos que a solução tem a forma de uma série:
Calculamos as derivadas necessárias:

Passo 7

Substituímos , e na equação diferencial:
Para facilitar, alinhamos os índices de soma substituindo na primeira soma:

Passo 8

Juntamos as somas:
Para que essa igualdade valha para todo , cada coeficiente de deve ser zero:

Passo 9

Podemos simplificar essa relação:
Essa é uma relação de recorrência que nos permite encontrar os coeficientes da série a partir de e , que são constantes arbitrárias.

Passo 10

Vamos determinar alguns coeficientes:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
E assim por diante.

Passo 11

Observando os coeficientes, vemos que a série depende de e . Assim, temos duas soluções independentes:
  1. Solução com :
  2. Solução com : Essa série pode ser reconhecida como a expansão de .

Resposta

As soluções da equação diferencial são:
Essas soluções coincidem com as obtidas usando séries de potências centradas em .

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